Ensemble des multiples d`un nombre Public : classe de 2ième
publicité
Ensemble des multiples d’un nombre
Public : classe de 2ième année de l’enseignement secondaire général
Discipline : algèbre
Sujet : Ensemble des multiples d’un nombre
Compétence :
« Déterminer le PGCD et le PPCM de deux nombres »
« Créer des familles de nombres à partir d’une propriété donnée (pair, impair,
multiple de, diviseur de…). »
Objectifs : à la fin de la séquence, l’élève sera capable de :
Calculer le PPCM de deux nombres ou plus.
Réduire des fractions au même dénominateur grâce au calcul du PPCM.
Résoudre des problèmes faisant appel au calcul du PPCM.
Pré requis :
Décomposition en facteurs premiers
Matériel : /
Ouvrages consultés :
DANEL Jean-Marc, HUGO Claire-Agnès, DEMUYNCK Marie. Astro-Math
2. Plantyn, 2008. pp 15-22, 31-36 ISBN 978-2-8010-5514-4.
CASTIAUX Martine, CLOSE Philippe, JANSSENS René. Maths 1/2. De
Boeck, 2008. pp 111, 112, 115, 116. Collection Adam. ISBN 978-2-80415852-1.
Ensemble des multiples d’un nombre
Exemple : 10 est multiple de 5 car il existe 2 ∈ ℕ tel que 10 = 2∙5
9 n’est pas multiple de 2 car il existe 4,5 ∉ ℕ tel que 9 = 4,5 ∙2
Remarque : 36 = 4∙9 ⇒ 36 est un multiple de 4 et de 9.
Notation :
L’ensemble des multiples d’un nombre a est noté a N.
Exemples :
0 N = {0}
1 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
2 N = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …}
3 N = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …}
5 N = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …}
7 N = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, …}
Ensemble des multiples communs à plusieurs nombres :
Rechercher l’ensemble des multiples communs à 12 et à 30 :
12 N = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …}
30 N = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, …}
L’ensemble des multiples communs à 12 et à 30 est noté 12 N ∩ 30 N
12 N ∩ 30 N = {0, 60, 120, 180, …}
= 60 N
Le plus petit commun multiple non nul de 12 et 30 = 60.
PPCM (12, 30) = 60
Recherchons une autre méthode pour calculer le PPCM
On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers.
Exemple :
12
2
30
2
6
2
15
3
3
3
5
5
1
1
12 = 22 . 31
30 = 21 . 31 . 51
60 = 22 . 31 . 51
PPCM (12, 30) = 22 . 31 . 51 = 60
Le PPCM de plusieurs nombres est donc égal au produit des facteurs
premiers communs ou non pris avec leur plus grand exposant.
Exercices
Remarque : Pour tous les exercices, indique tous tes calculs.
Calcule le PPCM des nombres suivants :
32 et 36
210 et 120
12, 18 et 30
12, 48 et 108
25 et 33
11 et 19
Propriétés :
a. Si deux nombres sont premiers entre eux, leur PPCM est égal au produit
de ces 2 nombres.
Exemple :
5
5
7
1
7
1
5 = 51
7 = 71
PPCM (5, 7, 35) = 51 . 71 = 35
b. Le produit de deux nombres naturels non nuls est égal au produit de leur
PGCD par leur PPCM.
𝑎, 𝑏𝜖 ℕ0
a . b = PGCD (a, b) . PPCM (a, b)
Exemple:
a = 36 et b = 54
36
2
54
2
18
2
27
3
9
3
9
3
3
3
3
3
1
1
36 = 22 . 32
54 = 21 . 33
PGCD (36, 54) = 21 . 32 = 18
PPCM (36, 54) = 22 . 33 = 108
36 ∙ 54 = 22 . 32 . 22 . 33
Par commutativité de la multiplication
= 2 . 32 . 22 . 33
PGCD
PPCM
Applications du PPCM :
1.
Réduction de fractions au même dénominateur afin de les additionner ou
les soustraire:
3
14
15
5
28
36
+
−
+
3
20
3
20
6
24
=
=
=
2. Résolution de certains problèmes :
a. Détermine la longueur de l’arête de la plus petite caisse cubique dans
laquelle on pourra, en la remplissant sans laisser de vide, mettre un
nombre entier de boîtes de céréales dont les dimensions sont 90, 72
et 30 cm. Combien de boîtes seront nécessaires pour remplir la
caisse ?
b. On a pavé une chambre carrée avec des dalles rectangulaires de 20 cm
sur 30 cm. Un nombre entier de dalles a été utilisé. Recherche la
longueur du côté de la plus petite pièce carrée que l’on peut paver si la
longueur du côté du carré est comprise entre 4,5 m et 5 m. Détermine
le nombre de dalles utilisées.
c. La longueur du cercle décrit par les roues avant d’un charriot est 2,5 m
tandis que la longueur du cercle décrit par les roues arrière est de
3,15 m. Quelle distance le charriot aura-t-il parcourue lorsque, pour la
première fois depuis le départ, les roues auront effectué en même
temps un nombre entier de tours ? Détermine le nombre de tours
effectués par les roues avant et le nombre de tours effectués par les
roues arrière lorsque la distance trouvée sera parcourue.
