Plus Grand Commun Diviseur Plus Petit Commun Multiple Le

Plus Grand Commun Diviseur
Plus Petit Commun Multiple
 Le P.G.C.D. de deux nombres est égal au produit des facteurs premiers
communs aux deux nombres, chacun d'eux étant affecté de son plus petit
exposant.
 Le P.P.C.M. de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs
premiers (communs ou non) des deux nombres, chacun d'eux étant affecté
de son plus grand exposant.
 Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur P.G.C.D. vaut 1.
 Si deux nombres sont premiers entre eux alors leur P.P.C.M. est égal
à leur produit.
 Si un nombre est diviseur d’un autre, alors ce nombre est le P.G.C.D.
de lui-même et de l'autre nombre.
 Si un nombre est multiple d'un autre, alors ce nombre est le P.P.C.M.
de lui-même et de l'autre nombre.
Rappel des méthodes de recherche du PGCD
Rappel des méthodes de recherche du PPCM
1) Cas particuliers
a) Nombres multiples l'un de l'autre : leur PGCD est le plus petit des 2
nombres.
Exemple : le PGCD de 18 et 6 est 6.
1) Cas particuliers
a) Nombres multiples l'un de l'autre : leur PPCM est le plus grand des 2
nombres.
Exemple : le PPCM de 18 et 6 est 18.
b) Nombres premiers entre eux : leur PGCD est 1.
Exemple : le PGCD de 8 et 9 est 1.
b) Nombres premiers entre eux : leur PPCM est le produit des 2 nombres.
Exemple : le PPCM de 8 et 9 est 72.
2) Comparaison des ensembles de diviseurs
Exemple : le PGCD de 12 et 18 est 6.
En effet, div 12 = {1,2,3,4,6,12} et
div 18 = {1,2,3,6,9,18}
2) Comparaison des ensembles de multiples
Exemple : le PPCM de 12 et 18 est 36.
En effet, 12ℕ = {0,12,24,36,48,...} et
18ℕ = {0,18,36,54,...}
3) Décomposition en facteurs premiers
Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de
facteurs premiers, le PGCD des deux nombres s'obtient en multipliant les
facteurs communs, chacun d'eux étant affecté de son plus petit exposant.
3) Décomposition en facteurs premiers
Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de
facteurs premiers, le PPCM des deux nombres s'obtient en multipliant
tous les facteurs communs ou non, chacun d'eux étant affecté de son plus
grand exposant.
Exemple : Recherche du PGCD de 120 et 144
Exemple : Recherche du PPCM de 120 et 144
120 = 23 . 3 . 5} ⇒ 𝑃𝐺𝐶𝐷(120; 144) = 23 . 3 = 24
144 = 24 . 32
120 = 23 . 3 . 5} ⇒ 𝑃𝑃𝐶𝑀(120; 144) = 24 . 32 . 5 = 720
144 = 24 . 32