LA LOI BINOMIALE 1) La loi de Bernoulli On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(S)=p et l'échec S avec une probabilité 1-p; soit la variable aléatoire B qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec . On a : P( B=0)=1−p et p (B=1)= p Cette variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli de paramètre p . Espérance de la loi de Bernoulli : E( B)=p Variance de la loi de Bernoulli : V (B)=p−p2=p (1−p) Ecart type de la loi de Bernoulli : σ( B) = p− p2 = p 1− p exemple 1 : une variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli de paramètre 2 1 et P (B=1)= . 3 3 1 2 Son espérance est ; sa variance est ; son écart type est 3 9 Sa loi est : 1 . 3 P ( B=0)= 2 . 3 2) Loi Binomiale On répète n fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli B à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S ( échec ) avec une probabilité 1− p . X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus . C'est la loi binomiale de paramètres n et p notée B n ; p . On remarque que : p X =0 = 1− p n (une liste contenant 0 succès donc n échecs successifs) n−1 ( n listes contenant 1 succès et n-1 échecs) . p X =1 =n p 1− p n p X =n = p (une liste contenant n succès) . Notons N k le nombre de listes contenant k succès , on a alors la loi de X qui est donné par : p X =k = N k p k 1− p n−k car il y a N k listes contenant k succès et n-k échecs. Les n+1 nombres N 0 =1 , N 1=n , …. N k , …., N n−1 =n , N n =1 sont appelés coefficients binomiaux . (Ils ont été calculé par Pascal : triangle de Pascal ; utilisés également par Newton dans le développement du binôme : calcul de x y n ) . En BTSCGO , P(X=k) se détermine à la calculatrice dans le mode « distrib » (abréviation de distribution) avec la fonction binomFdP (n,p,k) et P( X⩽k ) se détermine avec la fonction binomFreP(n,p,k). D'autre part , notant Y la loi de Bernoulli de paramètre p , X est la somme de n lois de Bernoulli identiques à Y . X=Y+Y+...+Y donc E(X)=E(Y)+E(Y) +...+E(Y)=n E(Y)=n p et V(X)=V(Y)+V(Y)+...+V(Y) =n p(1-p). En résumé : E(X)= n p et V(X)=n p(1-p) 2 ; 3 1) La loi de X se trouve en utilisant dans f(x) Y1=binomFdP (4,2/3,x) et faire un tableau de valeurs avec valeur initiale à 0 et un pas de 1 . k 0 1 2 3 4 Exemple 1: la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n= 4 et p= p(X=k) 0,0123 0,0988 0,2963 0,3951 0,1975 2) Espérance , variance , écart type E ( X ) =4 ( 2 /3 ) =8/3≈2,67 ; V ( X ) = 4 ( 2/ 3)(1/3)=8 /9≈0,8889 donc σ( X )≈0,94 . 3) Quelle est la probabilité que X soit inférieure ou égale à 3 ? P( X⩽3) = 0,8025 en utilisant binomFreP(4,2/3,3) 4) Quelle est la valeur de P ( X ⩾2 ) ? P ( X ≥2)=1 − P(X⩽1) =1-0,1111=0,8889 en utilisant 1-binomFrep(4,2/3,1) Exemple 2: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges . On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes tirées . Question 1 : démontrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres . 2 Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre correspondant à la 5 probabilité d'obtenir une boule verte (succès). Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de manière successive et indépendante car le tirage est successif et avec remise . 2 On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et p= . 5 Question 2 : Quelle est la probabilité d'obtenir une boule verte ? La loi de X est : k 0 1 2 3 p(X=k) 0,2160 0,4320 0,2880 0,0640 P(X=1)=0,432 Question 3: déterminer l'espérance de X , la variance et l'écart type de X E ( X ) =3 ( 2/5 )=1,2 ; V ( X )=3 ( 2/5 ) ( 3/5 ) =0,72 ; σ( X )≈0,85 Question 4 : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage ? p ( X ≤2 ) =0,936 Question 5 : Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule verte ? p ( X ≥2 ) =1−P ( X ≤1 )=1−0,648=0,352