Exercice 2.sur 5 points Candidats ayant suivi l`enseignement de

Exercice 2.sur 5 points
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques
On note E l’ensemble des 27 nombres entiers compris entre 0 et 26.
A chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier naturel compris entre 0 et 25, et on associe le nombre 26 au séparateur
entre deux mots, noté * selon le tableau ci-dessous :
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
*
26
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Etape 1 : on choisit deux entiers naturels p et q compris entre 0 et 26.
Etape 2 : au caractère que l’on veut coder, on associe l’entier x correspondant, selon le tableau ci-dessus.
Etape 3 : on calcule l’entier x’ défini par :
x '  px  q (mod 27) et 0  x '  26
Etape 4 : à l’entier x’, on associe le caractère correspondant dans le tableau.
1°) Dans cette question, on choisit p = 4 et q = 3.
a) Vérifier que la lettre S est codée par la lettre V
b) Démontrer que 4m  3  m (mod 27)  m  8(mod9) . En déduire les caractères invariants dans ce codage (c'està-dire les caractères qui sont codées par eux-mêmes).
c) Démontrer que x '  4 x  3 (27)  x  7 x ' 6 (27)
d) Décoder la lettre F
2°) Dans cette question, q = 2 mais p est inconnu.
a) Citer le théorème qui permet d’affirmer l’existence de deux entiers u et v tels que 11u –27v = 1. Donner, sans
justifier, un couple (u,v) qui convient.
b) On sait que la lettre L est codée par la lettre D. Déterminer la valeur de p (on admettra que p est unique).
3°) Dans cette question, q est quelconque et p est premier avec 27. Montrer que, si x et y sont deux éléments de E tels que
px  q  py  q (27) alors x = y.
Que peut-on en conclure pour un tel codage ?
Corrigé de l’exercice de spécialité du bac blanc du 31 mars
1°) p = 4 et q = 3
a) S correspond à x = 18.
px + q = 4 × 18 + 3 = 75.
75  21 (mod 27) et 21 correspond à la lettre V donc la lettre S est codée par la lettre V.
b)
c)
4m  3  m (27)  3m  3  0 (27)  k  tel que 3m  3  27 k
 k  tel que m  1  9k  m  1  0(9)  m  1 (9)  m  8 (9)
Les caractères invariants par ce codage sont ceux qui ont un rang congru à 8 modulo 9 donc I(8), R(17) et *(26).
x '  4x  3(27)  7 x '  28x  21(27)  7 x ' 6  28 x  27(27)  7 x ' 6  x(27)
car 28  1 (27) et 27  0 (27).
d) F correspond à x’ = 5.
7x’ + 6 = 41  14 (27) et 14 correspond à O : la lettre F est décodée en O.
2°) q = 2
a) Deux entiers a et b sont premiers entre eux,si, et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
C’est le théorème de Bezout. Comme 11 et – 27 sont premiers entre eux, on peut affirmer qu’il existe deux entiers
tels que 11u – 27v = 1.
Le couple (5 ; 2) convient car 11 × 5 – 27 × 2 = 1.
b) La lettre L de rang 11 est codée par la lettre D de rang 3. On a donc p × 11 + 2  3 (27) ce qui équivaut à
11 p  1(27) ou encore 11p – 1 = 27 k avec k entier ce qui donne 11p – 27k = 1.
En utilisant le résultat précédent, on peut dire que p = 5.
Remarque : on peut aussi déterminer p par tâtonnements, sachant que p est un entier entre 0 et 26, on essaie à la
11 p  1
calculatrice des valeurs de p jusqu’à obtenir une valeur de p telle que
soit un entier.
27
3°) px  q  py  q (27)  px  py (27)  27 divise px  py  27 divise p( x  y) .
27 divise le produit p(x – y) et 27 est premier avec p donc 27 divise x – y (Théorème de Gauss) donc x  y (27).
Or, x et y sont deux entiers entre 0 et 26. On a donc x = y.
Dans un tel codage, deux lettres différentes ne peuvent pas être codées de la même manière.