COURS TERMINALE S LES PROBABILITES C

COURS
TERMINALE S
LES PROBABILITES
C. Lois de probabilités
1. Lois discrètes
Il s'agit de lois de probabilités associées à une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs discrètes. On étudie
ici deux de ces lois:
a) Loi de Bernoulli:
Épreuve de Bernoulli:
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires de probabilités p et q, avec p + q = 1.
Exemples: Lancer d'une pièce de monnaie, avec les issues « obtenir pile » et « obtenir face ».
Lancer d'un dé, avec les issues « obtenir 6 » et « obtenir un nombre < 6 ».
Tirage d'une boule dans une urne contenant des boules rouges et des boules blanches. Les deux issues sont « obtenir
une boule rouge » et « obtenir une boule blanche ».
Remarque: dans la plupart des cas, on notera S l'une des issues appelée succès, et l'autre issue S = E appelée échec.
Loi de Bernoulli:
On considère une épreuve de Bernoulli d'issues contraires S et E, de probabilités respectives p et q et la variable
aléatoire X à valeurs dans {0; 1} définie par:
X = 1 si l'issue de l'épreuve est S, et X = 0 si l'issue de l'épreuve est E.
Définition: Dans ce cas, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
On a p(X = 1) = p(S) = p et p(X = 0) = p(E) = q = 1 – p .
L'espérance de X est égale à E(X) = 1×p + 0×q = p.
La variance de X est égale à V(X) = E((X – E(X))2) = (1 – p)2p + (0 – p)2q =(1 – p)2p + p2q = (1 – p)2p + p2(1 – p) =
(1 – p)[(1 – p)p + p2)] = p(1 – p).
b) Loi binomiale
Schéma de Bernoulli: Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
d'issues contraires S et E de probabilités respectives p et q.
Loi binomiale: On considère un schéma de Bernoulli d'issues contraires S et E, de probabilités respectives p et q et la
variable aléatoire X à valeurs dans {0; 1; 2; ...; n} définie par:
X = k si on obtient k succès dans le schéma de Bernoulli.
Définition: Dans ce cas, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et
notée B(n; p).
Propriété: Si X suit une loi binomiale B(n; p), alors pour k {0; 1; 2; ...; n}, p(X = k) =
n pk q nk
.
k
L'espérance de X est égale à E(X) = np.
La variance de X est égale à V(X) = E((X – E(X))2) = npq .
Démonstration: La répétition de n épreuves de Bernoulli donne les résultats possibles comme des listes de n issues S ou
E. Les épreuves répétées étant indépendantes, la probabilité d'obtenir une des listes est égale au produit des probabilités
de S et de E. Si la liste contient k fois l'issue S, et donc n – k fois l'issue E, la probabilité de la liste est pkqn – k .
Il y a
n
k
issues ayant k fois l'issue S, et donc n – k fois l'issue E (on choisit de placer S dans la liste contenant n
issues). Donc p(X = k) =
k=n
k=n
E(X) =
k=0
n pk qnk
. On a bien, par la formule du binôme,
k
(p(X = k)k) =
k=0
k=n
k=0
n pnk qk
= (p + q)n = 1.
k
n pk qnk
k . On considère la fonction f définie sur par f(x) = (px + q)n. Cette fonction
k
k=n
est dérivable sur et f '(x) = np(px + q)
n–1
. De plus, f(x) =
k=0
k=n
En prenant x = 1, on trouve f '(1) = np = k =1
n kp k q nk
= E(X).
k
n px k q nk
et f '(x) =
k
k=n
k =1
n kp k x k1 q nk
.
k
On admet que V(X) = npq .
2. Lois continues
a) Loi de probabilité à densité
Définition: Une loi de probabilité p définie sur un intervalle [a; b] de est déterminée par une fonction f définie,
b
continue et positive sur [a; b] telle que
f x dx
= 1. Cette fonction f est appelée la fonction de densité de la
a
probabilité p.
d
Pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b], la probabilité de [c; d] est égale à
f x dx .
c
b) Loi uniforme
Définition: On appelle loi uniforme sur un intervalle [a; b] de , la loi de probabilité p dont la fonction de densité f est
une fonction constante sur [a; b]. Soit, pour x dans [a; b], f(x) = k .
b
Dans ce cas, puisque
b
f x dx =
kdx
a
a
1
b
= [ kx ] = k(b – a) = 1, la constante k =
.
a
ba
Propriété:
Pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b], la probabilité de [c; d] est égale à
dc
ba
=
longueur du segment [c ; d]
longueur du segment [a ; b]
.
c) Loi exponentielle
Définition: Soit un réel strictement positif. La fonction f définie sur [0; +
[ par f(x) = e x est la densité d'une loi
de probabilité p, appelé loi exponentielle de paramètre .
t
Remarque: On peut démontrer que lim
f x dx
= 1.
t 0
Une variable aléatoire X à valeurs dans [0; +
[ suit une loi exponentielle de paramètre , si pour tout réel t de [0; +
[,
t
p(X [0; t]) = p(0 X t) =
f x dx
t
=
0
e x dx
0
= [ e
x
]t
0
= e t e 0 = 1 – e t .
On a donc p(X [t ; +
[) = p(X t) = e t .
t
De plus, pour tous réels s et t strictement positifs avec s t, p(X [s; t]) = p(s X t) =
e x dx
= e s – e t .
s
d) Loi de durée de vie sans vieillissement
La durée de vie d'un individu au sens statistique du terme est une variable aléatoire T à valeurs dans [0; +
[, où
l'événement (T t) avec t 0, signifie que l'individu est vivant à l'instant t.
On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement si la probabilité que l'individu soit vivant à
l'instant t + h (h 0), sachant qu'il est vivant à l'instant t, ne dépend pas de t.
C'est-à-dire p(T t)(T t + h) ne dépend pas de t.
Si cette probabilité ne dépend pas de t, on peut prendre t = 0, et p(T t)(T t + h) = p(T 0)(T h).
Comme l'évènement (T 0) est l'évènement certain, p(T 0)(T h) = p(T h). Donc p(T t)(T t + h) = p(T h).
p Tth Tt
pTt h
=
car
D'après la définition des probabilités conditionnelles, p(T t)(T t + h) =
p T t
pTt l'événement (T t + h) est contenu dans l'évènement (T t).
pTth
Ainsi
= p(T h). On pose g(t) = p(T t) pour t 0.
pTt On obtient g(t + h) = g(t) × g(h) pour t 0 et h 0. En admettant que la fonction g est dérivable sur [0; +
[, on a
vu que g(t) = e at avec a dans . Comme g est une probabilité, g(t) 1, donc a < 0. On pose alors = – a > 0.
Ainsi la loi de durée de vie sans vieillissement est une loi exponentielle.
Applications: Durée de vie d'un composant électronique, d'un appareil électrique; durée d'une substance radioactif...