ONDES ELECTROMAGNETIQUES Cyril Luxey I – Propagation des ondes électromagnétiques II – Ondes Electromagnétiques planes Ö Contrôle 1 III – Lignes de transmission Ö Contrôle 2 I – Propagation des ondes électromagnétiques I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6 I.7 I.8 – – – – – – – – Les sources Equations de Maxwell Potentiels vecteur et scalaire Loi de conservation de la charge électrique Equations de propagation des champs Conditions de passage à l’interface entre deux milieux Electromagnétisme en régime sinusoïdal Les différents milieux I.8.a – Les milieux diélectriques linéaires I.8.b – Les milieux magnétiques linéaires I.8.c – Les milieux conducteurs linéaires I.9 – Puissance et Energie I.10 - Guides d’ondes rectangulaires 1 2 III – Lignes de transmission II – Ondes Electromagnétiques planes II.1 – Définition II.2 – Ondes EM planes en régime sinusoïdal dans un milieu linéaire parfait ne comportant ni charge ni courant II.3 – Polarisation selon une droite quelconque II.4 – Polarisation d’une onde plane II.5 – Densité d’énergie II.6 – Puissance transportée par une onde plane II.7 – Réflexion, réfraction II.8 – Ondes planes dans un milieu conducteur II.8.a – Epaisseur de peau II.8.b – Impédance de surface II.8.c – Puissance dissipée par effet Joule II.9 – Ondes planes dans un milieu imparfait non conducteur 3 III.1 III.2 III.3 III.4 III.5 – – – – – Description d’une ligne Equations fondamentales Variation de l’impédance le long d’une ligne Lignes sans pertes Impédance caractéristique des lignes sans pertes Ligne coaxiale, Ligne bifilaire, Ligne microruban III.6 – Coefficient de réflexion III.7 – Rapport d’ondes stationnaires III.8 – Puissance réfléchie III.9 – Adaptation d’une ligne III.10 – Exemples d’adaptation d’une ligne sans pertes Adaptation quart d’onde, Adaptation par stub III.11 – Abaque de Smith III.11.a – Grandeurs réduites III.11.b – L’abaque de Smith III.11.c – Utilisation de l’abaque en admittance III.12 – Exemples d’utilisation de l’abaque de Smith 4 1 I.1 – Les sources du champ eom I – Propagation des ondes eom Les champs électrique et magnétique sont déterminés à partir des ρ ( x , y, z , t ) r j (x, y, z, t) James Clerk Maxwell (1831-1879) qui sont les sources du champ électromagnétique liées entre elles par l’équation de conservation de la charge électrique 5 6 Charges ponctuelles : charge q de vitesse v Charges réparties : dans des volumes τ sur des surfaces s ou sur des lignes l Densité superficielle de courant r r js = ρs v Densité superficielle de charge ρs = Densité volumique de charge Densité volumique de courant Intensité de courant i= dq ds Intensité du courant à travers une courbe c di = js n c dc ⇒ i = ∫ js ⋅ n c dc dq dt c nc est perpendiculaire à dc (la courbe) mais tangentiel à la surface n est perpendiculaire à la surface Charges immobiles : vitesse 0, densité volumique et intensité de courant 0 Linéairement (fil électrique de section infiniment petite) Plusieurs fluides électriques de natures différentes et de vitesses différentes peuvent coexister et se superposer les uns aux autres. 7 ρl = dq dc i= dq dt 8 2 I.2 - Equations de Maxwell Les champs Electrique : Les champs électrique et magnétique sont déterminés à partir des : champ électrique induction électrique r d= ε e ε permittivité absolue du milieu densités volumiques de charge ρ ( x , y, z , t ) densités volumiques de courant r j ( x , y, z, t ) Magnétique : champ magnétique ou excitation du champ magnétique induction magnétique r b= μ h μ perméabilité absolue du milieu 9 10 Interprétation des équations de Maxwell Les quatre équations de Maxwell (forme locale) (1) équation de Maxwell–Faraday (2) équation Maxwell–Ampère (3) équation Maxwell–Gauss (4) équation du flux conservatif Les équations (1) et (2) sont des relations champ - champ et les relations (3) et (4) sont des relations champ - source 11 12 3 I.3 – Potentiels vecteur et scalaire Au champ électromagnétique on associe le couple de potentiels I.4 – Loi de conservation de la charge électrique En régime variable la densité volumique de courant et la densité volumique de charges sont liées par la relation locale dite (ar, ϕ) “ équation de continuité ” ou “ équation de conservation de la charge ” tel que r ∂ρ div j + =0 ∂t r r b = rot a 13 I.5 – Equations de propagation des champs 14 Création et propagation du champ eom Les équations de Maxwell dans le vide (dépourvu des charges et de courants) r ρ=0 j=0 r divb = 0 r r ∂b rote = − ∂t div d = 0 rot h = ∂d ∂t permettent d’obtenir les équations (différentielles) de propagation des champs Et ainsi de suite … Les potentiels obéissent à des équations (d’onde) du même type 15 16 4 I.6 - Conditions de passage à l’interface entre deux milieux r r ann a r r r r r n a = an n + at js r M ρs at (2) I.7 - EOM en régime sinusoïdal (ou harmonique) on adopte la notation complexe Soit a ( t ) = a 0 cos(ωt + φ) (1) Le retour au signal réel s’effectue par Composantes tangentielles continuité du champ électrique tangentiel à la traversée d’une surface électrisée discontinuité du champ magnétique tangentiel en présence de courants superficiels a x = a 0 x cos(ωt + φ x ) r a (t ) a y = a 0 y cos(ωt + φ y ) Composantes normales a z = a 0 z cos(ωt + φ z ) discontinuité du champ électrique normal continuité du champ magnétique normal [ ] [ r r a (t ) = ℜe A e jωt ] 18 Equations de Maxwell en régime sinusoïdal notation complexe r r rot E = − jωB r r r rot H = J + jωD r div D = Ρ r div B = 0 (la barre représente la moyenne temporelle) ( retour vecteur amplitude complexe ne dépend plus du temps 17 Propriétés de la notation complexe r r r r 1 a ⋅ b = ℜe A ⋅ B * 2 A x = a 0 x e jφ x r jφ A A y = a 0ye y jφ z A z = a 0ze ) + r 1 r r 1 2 a2 = A ⋅A* = A 2 2 19 Equation de conservation de la charge r div J + jω Ρ = 0 20 5 Équations de propagation des champs et des potentiels en régime sinusoïdal Potentiels électromagnétique en régime sinusoïdal Notation complexe Au champ électromagnétique, on associe le couple de potentiels ( ) r A, ϕ r r B = rot A tel que Dans un milieu linéaire, dépourvu de charges et de courants, les équations de Maxwell permettent d’obtenir les équations de propagation des champs r r E = − jω A − grad ϕ r r r Δ E + k 2E = 0 r r Δ H + k 2H = 0 Ces potentiels ne sont pas déterminés complètement k= avec k nombre d’onde On peut donc leur imposer une relation supplémentaire (jauge de Lorentz) pour assurer leur complète détermination r div A + jωεμ ϕ = 0 r r r Δ A + k 2A = −μ J 21 =ω ε μ Δ ϕ + k 2ϕ = - Ρ ε 22 I.8 Les différents milieux I.8.a - Les milieux à diélectrique linéaire - les sources - les champs - les potentiels r r D = εE r A r r r Δ A + k 2A = −μ J r r r j E = − jω A − grad divA ωεμ r E r r 1 H = rot A r H μ v S’il y a présence de charges et de courants, En régime variable sinusoïdal on ne peut plus dissocier ( ω ) ε = εr ε0 ε permittivité absolue du milieu εr permittivité relative du milieu ε0 permittivité du vide ε0 = 8.84⋅ 10−12 F⋅m−1 Si ε est réel : le diélectrique linéaire est parfait (pas de pertes calorifiques par hystérésis diélectrique) Si ε est complexe : le diélectrique linéaire est imparfait (pertes calorifiques par hystérésis diélec.) Ö D est en retard de phase sur E de δ (frottement des dipôles de la matière lors dpt) ε = ε′ − j ε′′ = ε e − jδ 23 ε′, ε′′, δ > 0 δ : angle de pertes du diélectrique 24 6 I.8.b - Les milieux magnétiques linéaires r r B=μH μ perméabilité absolue du milieu μr perméabilité relative du milieu −7 −1 μ0 perméabilité du vide μ0 = 4π ⋅ 10 H⋅m μ = μr μ0 Si μ est réel : milieu magnétique est linéaire parfait (pas de pertes calorifique par hystérésis magnétique) Si μ est complexe : milieu magnétique linéaire est imparfait (pertes calo. par hystérésis magnétique) Ö B est en retard de phase sur H μ = μ′ − j μ′′ ε0 μ0 c2 = 1 ⇒ c = μr = 1 ε0 μ0 μ μ0 ≈ 1 ⇒ μ ≈ μ0 Equations de Maxwell en régime sinusoïdal (notation complexe) dans un milieu linéaire diélectrique et magnétique r r rot E = − jωμ H r r r rot H = J + jωε E r Ρ div E = ε (sauf les ferrites) c est la vitesse de la lumière et donc des ondes EM dans le vide 25 c = 3 x 108 m/s r div H = 0 26 I.8.c - Les milieux conducteurs linéaires Conditions de passage à l’interface entre deux milieux linéaires en présence de charges r r J = σE Composantes tangentielles σ σ infini r r r E t 2 − E t1 = 0 conductivité du milieu Ö conducteur parfait 8 −1 −1 Cuivre σ = 0,5 ⋅ 10 Ω ⋅ m r r r r H t 2 − H t1 = J s ∧ n Bon conducteur : σ ≥ 106 Conducteur parfait, J= ? Composantes normales ε 2 E n − ε 1E n = ρ s 2 1 μ 2 H n − μ1H n = 0 2 1 27 28 7 Conditions de continuité à l’interface d’un conducteur parfait r E r r n js r M ρ s (2) H Milieu conducteur Diélectrique linéaire parfait Diélectrique linéaire imparfait Conducteur parfait (1) r r Et2 = 0 r ε 2E n = ρs ⇒ E n = 2 r r r H t 2 = Js ∧ n 2 μ2H n = 0 r r rot H = jωε E r r rot H = ωε '' + jωε ' E ( ρs r n ε2 ) r r rot H = (σ + jωε )E r Diélectrique linéaire imparfait + conducteur rot H = (σ + ωε '' r + jωε ' E ) Conductivité fictive qui s’ajoute à la conductivité ohmique σ 2 Les champs E, H et Js forment un trièdre direct diélectrique linéaire Diélectrique linéaire parfait + conducteur Composantes normales Composantes tangentielles et 29 Comme ρ=0 dans le conducteur, les charges négatives sont exactement compensées en tout point par les charges positives 30 I.9 – Puissance et Energie Force de Lorentz Une charge animée d’une vitesse subit de la part du champ EM la force EM ( r r r r f =q e+v∧b Travail de f ) entre t et t+dt r r r r dT = f ⋅ v dt = q e ⋅ v dt cédée par le champ eom aux particules chargées de dV [ ] r r dP 1 = ℜe E ⋅ J * dV 2 dV M r J Avec d P = puissance moyenne temporelle reçue par les particules de dV (ou cédée par le champ) r v dt distance parcourue Puissance cédée à l’instant t par le champ à la particule Si l’on a un conducteur linéaire (ohmique), la puissance acquise par l’élément dV (cad le courant) est rétrocédée sous forme de chaleur (effet Joule) r r d PJ 1 r r r dPJ J = σE = σE ⋅ E * en régime sinusoïdal = σe 2 dV 2 dV r r P = qe⋅v Puissance cédée à l’instant t aux particules de volume dV et utilisée pour accroître leur énergie r r r r r r j=ρv dP = ρ dV e ⋅ v = e ⋅ j dV Si ‘on a un diélectrique imparfait, la puissance acquise par l’élément dV est rétrocédée sous forme d’hystérésis diélectrique (effet Joule) ε = ε′ − j ε′′ Densité de puissance cédée à l’instant (t) aux particules de dV par le champ EM dP r r =e⋅ j dV Densité volumique moyenne de puissance [ ] r r dP 1 = ℜe E ⋅ J * dV 2 r r d PHD 1 = ω ε '' E ⋅ E * dV 2 en régime sinusoïdal 31 32 8 Densités volumiques d’énergie Dans un milieu linéaire parfait (ε, μ : réels) Un élément de volume dV contient - l’énergie électrique dWE - l’énergie magnétique dWM uE = dW E dV uM = dW M dV u = uE + uM = uE = dW dV On définit d WE dV -la densité moyenne d’énergie magnétique -la densité moyenne d’énergie eom u = u E + u M = uM = dW dV 1 r2 μh 2 uM = u= 1 r2 1 r2 εe + μh 2 2 en régime sinusoïdal Un élément de volume dV contient - l’énergie électrique moyenne dWE - l’énergie magnétique moyenne dWM -la densité moyenne d’énergie électrique u E = 1 r2 εe 2 1 rr* ε EE 4 uE = uM = 1 rr 1 r r u = ε EE* + μ HH* 4 4 r r 1 μ H H* 4 Dans le cas des milieux linéaires imparfaits (ε, μ : complexes) , ces expressions sont plus complexes elles font apparaître la variation de la constante diélectrique avec la fréquence d WM dV 33 Puissance transportée Vecteur de Poynting instantané Théorème de Poynting r r e∧h Pour calculer le flux du vecteur de Pointing entrant dans s fermée on intègre l’identité de Poynting dans le volume V ( ( ) ( ) r r rr r r r dP ∂u ∂W − ∫∫∫ div e ∧ h dV = ∫∫∫ e j dV + ∫∫∫ dV ⇒ − ∫∫ e ∧ h n ds = ∫∫∫ dV + ∂ t dV ∂t V V V s V Identité de Poynting r r div e ∧ h 34 ) ( ) r r r ∂W − ∫∫ e ∧ h n ds = P + ∂t s Le flux du vecteur de Poynting entrant dans s fermée = puissance totale cédée par le champ aux particules du volume V + énergie emmagasinée dans V ( ) r r rr ∂u − div e ∧ h = e j + ∂t ∫∫ ( e ∧ h )n ds r r r puissance qui sort de V à travers s s 35 36 9 En régime sinusoïdal Le vecteur de Poynting complexe 1 r r E ∧ H * permet le calcul de la puissance 2 transportée par le champ eom A partir des deux premières éq. de Maxwell on démontre l’identité de Poynting ( ( ) ) r r r r r 1 r 1 − div E ∧ H * = − H * rot E − E rot H * 2 2 r r r 1 1r r = jω μ H H * + E J * − jω ε E * 2 2 rr r r 1rr 1 = E J * + jω − ε E E * +μ H H * 2 2 ( ( ( L’intégration dans un volume V de cette identité conduit au théorème de Poynting − ( ) r r 1 1rr E ∧ H * .n dS = ∫∫∫ E J * dV + 2 jω (WM − WE ) 2 ∫∫ 2 S V Énergies magnétiques et électriques emmagasinées dans le volume V Flux du vecteur de Poynting pénétrant à l’intérieur de la surface S Dans le cas : ε et μ réels ) ) r r r ⎤ 1 rr ⎡ ⎡ ⎤ 1 − ℜe ⎢ ∫∫ E ∧ H * n ds ⎥ = ℜe ⎢ ∫∫∫ E J * dV ⎥ + 0 2 ⎣ s ⎦ 2 ⎣ V ⎦ ( r r r ⎤ ⎡ 1 dP ⇒ − ℜe ⎢ ∫∫ E ∧ H * n ds ⎥ = ∫∫∫ dτ 2 ⎣ s ⎦ τ dτ ) ( ) La puissance sortant d’une surface fermée S dans le sens de la normale = Re (flux du vecteur de Poynting à travers cette S fermée) ) r r 1 1rr − div E ∧ H * = E J * +2 jω ( − u E + u M ) 2 2 r r r ⎤ ⎡ 1 P = ℜe ⎢ ∫∫ E ∧ H * n ds ⎥ 2 ⎣ s ⎦ ( 37 ) Dans le cas des milieux linéaires imparfaits les expressions de la densité électrique 38 et magnétique sont plus complexes car ε et μ sont complexes + fonction de fréq. 10