7-5 Conditions de raccordement des champs électriques et

4- ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LES MATERIAUXCONDITIONS DE RACCORDEMENT ENTRE DEUX MILIEUX ENERGIE
4-1 : Influence de la nature du matériau :
Cas des métaux :
On définit la conductivitér d’unrmétal comme le lien entre la densité de courant et le
champ électrique qui y règne : j = γE . Un métal parfait a une conductivité infinie, donc à
l’intérieur du métal parfait, il n’y a aucun champ ni électrique ni magnétique, les charges et
courants sont uniquement en surface.
Cas des isolants ou diélectriques :
Leur conductivité est nulle ou très faible. Il n’y a aucun courant vrai ni en volume ni
en surface. Il peut cependant y avoir des charges dites de polarisation notamment en surface.
L’ étude plus complète de ces matériaux dépasse largement ce cours . En résumé, les
équations de Maxwell deviennent dans un milieu diélectrique:
r
divE =
ρ
ε0εr
r
r
∂B
Rot E = −
∂t
r
divB = 0
→
r
∂E
Rot B = ε 0ε rµ 0
∂t
→ r
Elles sont identiques à celles dans le vide sauf que ε0 est remplacé par ε0 εr. La vitesse
des ondes électromagnétiques dans un diélectrique n’est donc pas c mais
ondes lumineuses,
c
. Pour des
εr
c
=c/n où n est l’indice optique, typiquement compris entre 1 et 1,8.
εr
Exemple : n=1.33 pour l’eau, et n= 1.7 ( ? ?) pour l’oxyde de titane utilisé à cause de
son indice optique élevé comme pigment blanc.
4-2 : Conditions de raccordement des champs électriques et magnétiques au niveau
d’une surface (composantes normales et tangentielles).
Les champs électromagnétiques ne se propagent pas uniquement dans le vide et sont
amenés à rencontrer des obstacles comme des objets métalliques ou des diélectriques.
Considérons une surface portant
r une densité de charge permanente σ et parcourue par une
densité de courant surfacique js .
Ondes OEM 4-1
dS
E2
E1
On va distinguer les deux côtés de la surface, le côté 1 et le côté 2. Le lien entre les
champs électriques de part et d’autre va dépendre de la densité surfacique de charge.
Appelons x la direction de la normale à la surface, (y,z) les directions dans la surface.
Considérons une boîte de dimension Lx, Ly et Lz coupée en deux par la surface :
x
dS
z
y
Dans la suite, Lx sera considéré comme tout petit et nous considérerons donc les champs
électriques et magnétiques au voisinage immédiat de la surface soit du côté 1, soit du côté 2.
Pour le champ électrique, nous allons utiliser les deux équations de Maxwell ci-dessous et
leurs formes intégrales en utilisant la boîte ci-dessus :
r ρ
divE =
ε0
r
r
→
∂B
Rot E = −
∂t
La forme intégrale de la première équation entraîne que le flux du champ électrique à
travers une surface fermée est égal à une constante près à la charge électrique à l’intérieur de
cette boîte. Considérons donc une boîte très plate (Lx tendant vers zéro). Les contributions
non nulles au flux seront donc les flux à travers les surfaces de la boîte perpendiculaires à x.
En faisant attentions au signe : le flux du champ électrique est donc ( E2x − E1x )Ly Lz . La
charge contenue à l’intérieur est σLy Lz . On en déduit donc :
(E2x − E1x ) =
σ
ε0
Pour la continuité des autres composantes du champ électrique , nous allons considérer
l’autre équation et donc des contours s’appuyant sur des faces de la boîte. Prenons une face
perpendiculaire à la direction z .
r
x
∂B
Si on fait tendre Lx vers 0, le flux de −
va tendre vers 0 et
∂t
donc (− E2y + E1y )Ly → 0 .
z
y
On en déduit ainsi que E2y = E1y .
De même, par un raisonnement analogue, on peut montrer que : E2z = E1z
Il y a donc continuité du champ électrique tangentiel, mais il peut y avoir
discontinuité de la composante normale du champ s’il y a des charges de surface.
r
r σ r
E2 − E1 = n1→ 2
ε0
Ondes OEM 4-2
Nous allons reprendre un raisonnement analogue pour le champ magnétique et utiliser
les deux autres équations de Maxwell :
r
divB = 0
r
r
→ r
∂E
Rot B = µ0 j + ε0 µ0
∂t
♦ Exercice 4-1.: Montrer qu’il y a continuité de la composante normale du champ
magnétique.
Reprenons le circuit perpendiculaire à la direction z.
(− B2y + B1y )Ly = µ0 jsz Ly + Lyε (Lx ) .
On en déduit donc :
B2 y − B1y = −µ0 jsz .
♦ Exercice 4-2.: Montrer par un raisonnement analogue que : B2 z − B1z = µ0 jsy .
On peut ainsi en déduire qu’il y a continuité de la composante du champ magnétique
normale à la surface, mais qu’il peut y avoir discontinuité de la composante tangente en
présence de courant de surface :
r
r r
v
B2 t − B1t = µ0 j s ∧ n
r
n étant la normale à la surface, le milieu 1 précédent le milieu 2 dans la direction de cette
normale.
4-3 Energie
En électrostatique et en magnétostatique, on vous a introduit des densités d’énergie
électrostatique et magnétostatique :
1 1 2
1
B .
uE = ε0 E 2 et uB =
2
2 µ0
Gardons ces expressions même si les champs sont variables dans le temps. Dans ce cas, on
E
peut remarquer que dans le cas d’une onde progressive B = et donc l’énergie électrique est
c
égal à l’énergie magnétique. Ce sont des énergies par unité de volume. Quand une onde
électromagnétique se propage, le champ électrique et le champ magnétique varient dans le
temps, donc cette énergie varie dans le temps. Il y a donc transport d’énergie que l’on va
essayer de décrire comme un vecteur dont la norme correspondra à l’intensité (comme dans
les ondes sonores par exemple). On avait vu que cette variation pouvait s’écrire
r
∂e
+ div(φe ) = 0
∂t
r
où φe est le flux d’énergie par unité de surface.
Essayons d’utiliser cette expression pour exprimer la densité de flux d’énergie
électromagnétique.
Ondes OEM 4-3
r
r
r ∂ E 1 r ∂B
∂e
= ε0 E.
+
B.
∂t
∂t µ 0 ∂ t
⎛
⎞
r⎟ 1 r → r
∂e 1 r ⎜ → r
=
E.⎜ RotB− µ0 j ⎟ −
B.Rot E
∂t µ 0 ⎜
⎟ µ0
⎝
⎠
r r
r → r r → r
Or E. Rot B − B.Rot E = −div( E ∧ B)
♦ Exercice 4-3
Montrer que cette expression est vraie dans le cas où le champ électrique a une seule
composante non nulle, celle suivant y, et que cette composante ne dépend que de x, et que le
champ magnétique a une seule composante non nulle, celle suivant z, et que cette composante
ne dépend que de x.
On en déduit donc :
r r
r r
∂e 1
+ div( E ∧ B) + E . j = 0
∂ t µ0
Dans le vide, il n’y a pas de densité de courant, il est alors simple d’identifier :
r
φe =
1 r r
(E ∧ B)
µ0
Ce vecteur s’appelle le vecteur de Poynting. Il correspond à la puissance transportée
par unité de surface par une onde électromagnétique.
Rem : Le choix de la densité d’énergie et du vecteur de Poynting sont des choix
arbitraires; il s’agit d’un postulat supplémentaire de la théorie électromagnétique.
r
Cas d’une onde progressive se propageant dans la direction n :
r 1r r
B= n∧E
c
Ondes OEM 4-4
r
φe =
E2 r
n
µ0 c