Champs électrique et magnétique

Champs électrique et magnétique
Dans le cours de sup ont été introduits les champs électrique et magnétique, en s’appuyant sur
l’observation du mouvement d’une particule chargée, provoqué par la force de Lorentz :
→
→ → →
F =q( E + v . B )
.
Les conséquences particulières de la dépendance en fonction du temps du champ magnétique ont
aussi été abordées dans le cadre de la description du phénomène d’induction.
Nous allons adapter ces résultats à la description mésoscopique de la matière (faisant intervenir
→
des distributions volumiques ρ de charges et j de courants).
I. Sources des champs
1. Situation en statique
La statique correspond à la situation où les grandeurs caractéristiques ne dépendent pas du temps.
a. Champ électrique créé par une charge ponctuelle
On constate que deux charges ponctuelles q et q' séparées par une distance r exercent l'une sur
l'autre une force :
* attractive si q et q' sont de signes contraires;
* répulsive si q et q' ont même signe;
q q∏
1 = 9 . 10 9 SI
* de module F =
4✜✒ o
4✜✒ o r 2
* portée par la droite joignant les deux charges.
Soit une charge ponctuelle q en O et une charge ponctuelle q’ initialement au repos placée en un
→
→
q
→
→
point M. Cette charge q’ subit donc la force F = q ∏
u avec u vecteur unitaire sur OM,
2
4✜✒ o r
orienté de O vers M.
La vitesse de la charge q’ étant nulle, on obtient par comparaison avec l’expression générale de la
force de Lorentz qu’est présent en M un champ électrique créé par la charge q :
→
E (M) =
q
→
u
4✜✒ o r 2
Une charge électrique fixe génère un champ électrique
b. Champ magnétique créé par un courant d’intensité I
Faisons passer un courant I dans un fil ; plaçons au voisinage de ce fil une boussole.
On constate un changement de l’orientation de la boussole entre les deux situations I = 0 et I non
nul.
Un courant électrique génère un champ magnétique
2. Régimes fonction du temps
a. Effet d'un champ magnétique dépendant du temps
Soit C un circuit fermé ne comportant pas de générateur.
C
S
N
On place un aimant à proximité.
I
Si l'aimant est immobile, on constate qu'il ne circule aucun
courant dans le circuit; si on fait tourner l'aimant, pendant ce
mouvement, un courant non nul passe dans C.
aimant
Or pendant le mouvement de l'aimant, le champ magnétique qu'il crée tourne avec lui; le champ
subi par un point donné du circuit varie donc dans le temps. Le courant qui apparaît correspond à la
mise en mouvement des charges libres du circuit. Or d'après la force de Lorentz, un champ
magnétique ne peut pas mettre en mouvement des charges initialement au repos. Il est donc
nécessairement apparu un champ électrique.
Csq : Un champ magnétique variable dans le temps engendre un champ électrique.
b. Effet d'un champ électrique variable
Soit C un circuit comportant un condensateur et un générateur dépendant du temps.
I
~
Bien que le circuit soit ouvert, on observe un courant
non nul dans le circuit; ce courant est nul si le générateur
est remplacé par un générateur continu.
Or en régime variable, le champ électrique présent
entre les plaques dépend du temps.
Pour pouvoir continuer à écrire une loi de continuité du courant en tout point du circuit, il faut
admettre que la présence d'un champ électrique variable dans le temps est équivalente à un courant
électrique. Si cette hypothèse est correcte, ce champ électrique variable doit générer un champ
magnétique puisqu'un courant est source de champ magnétique ; on le vérifie en plaçant entre les
plaques une petite boussole qui est mise en mouvement si le générateur dépend du temps.
Csq : Un champ électrique variable dans le temps engendre un champ magnétique
Donc en régime dépendant du temps, les champs électriques et magnétiques sont couplés. L'un ne
peut pas exister sans l'autre.
II. Lois locales : Equations de Maxwell
1. Définition
Une loi locale est une relation entre deux grandeurs mesurées au même point et un même instant.
Nous avons vu que dans la matière, la présence de charges et de courants sont caractérisés par des
densités (ou distributions) volumiques de charges et de courants, dont la valeur peut dépendre à la
→ →
→
fois de la position où on les mesure, et du temps : ρ ( r , t ) et j ( r , t ).
Les lois locales relient ces sources aux champs qu’elles créent au même point et au même instant :
→
→
→
E ( M , t ) et B ( M , t ) en fonction de ✣( M , t ) et j ( M , t ).
2. Equations de Maxwell
Nous les prendrons comme postulats de l'électromagnétisme.
→
✣
div E = ✒ o
→
→
Rot E = − Ø B
Øt
→
div B = 0
→
→
→
Ø
Rot B = ✙ o ( j + ✒ o E )
Øt
Equations de Maxwell
Vocabulaire :
Les équations ont des noms usuels : Maxwell Gauss, Maxwell Faraday, Maxwell flux et Maxwell
Ampère.
✒ o est la permittivité du vide
1 = 9 10 9 SI
4 ✜ ✒o
✙ o est la perméabilité du vide ✙ o = 4 ✜ 10 − 7 SI
Rmq 1 :
Ces équations établissent le lien entre les champs électrique et magnétique en régime dépendant
du temps. Il apparaît donc qu'il est impossible de créer un champ électrique variable sans générer
simultanément un champ magnétique variable, et réciproquement. Les phénomènes électriques et
magnétiques sont indissociables lorsqu'ils dépendent du temps.
( Ceci suggère qu'ils correspondent en fait à une même interaction fondamentale, appelée
interaction électromagnétique, dont la particule associée est le photon ).
Rmq 2 :
→
Ø
Le terme ✒ o E est, d'après la dernière équation, homogène à une densité volumique de
Øt
courant, bien qu'il ne corresponde pas à un déplacement de charges.
On l'appelle courant de déplacement.
→
→
Ø
j d = ✒o E
Øt
3. Lien avec le principe de conservation de la charge
En régime fonction du temps, l’équation de Maxwell Ampère s’écrit :
→
→
→
Ø
Rot B = ✙ o ( j + ✒ o E )
Øt
Or la divergence d’un rotationnel est toujours nulle ;
→
→
Ø
div
E =0
Donc div j + ✒ o
Øt
→
Or l’équation de Maxwell Gauss donne ✣ = ✒ o div E ;
→ Ø✣
D’où div j +
Øt
charge.
= 0 qui est aussi l’équation traduisant le principe de conservation de la
La prise en compte des courants de déplacement permet d’assurer la compatibilité des
équations de Maxwell avec le principe de conservation de la charge.
Rmq :
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la “loi des noeuds” n’est pas vérifiée en régime
fonction du temps.
→
En effet la loi des noeuds en régime stationnaire résulte de div j = 0 .
→
→
→ →
Ø
En régime fonction du temps nous avons div j + div (✒ o E ) = 0 soit div ( j + j d ) = 0
Øt
ce qui signifie que la loi des noeuds est vérifiée si l’on tient compte des courants réels ET des
courants de déplacement.