cours 12

162
PARTIE 4
RÉGIMES VARIABLES
163
Chapitre II
GB
ÉNERGIE POTENTIELLE MAGNÉTIQUE
-APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI STATIONNAIRES1/ Introduction
Electrostatique : Rassemblement de charges ⇒ mise en jeu d’un travail
emmagasiné sous forme d’énergie potentielle électrostatique
Magnétostatique : Établissement de courants stationnaires ⇒ mise en jeu d’un travail
emmagasiné sous forme d’énergie potentielle magnétostatique
!! lors de la phase d’établissement du courant ⇒ prise en compte des phénomènes d’induction
Si évolution suffisamment lente des sources, les champs suivent leur évolution sans retard
⇒ Approximation des régimes quasi stationnaires
•/•
GB
164
2/ Expression de l’énergie en fonction des courants
Ensemble de circuits élémentaires [volumes élémentaires : charge niqdτi se déplaçant avec v i ]
placés dans D délimité par Σ
Énergie à fournir aux charges mobiles pour passer de la situation j = 0 ( et donc B = 0 )
partout à la situation ( j , B )
Cette énergie correspond à l’énergie potentielle magnétique
Phase transitoire : Charge nqdτ animée d'une vitesse v
⇒ dans E, B subit la force de Lorentz F = nq dτ E + v ∧ B
(
( )
)
⇒ Force extérieure : − F
Durant dt, l'extérieur (source de courant) va fournir un
travail dWm = −F • v dt (déplacement dl = v dt )
⇒ dWm = −nq E • v dτ dt = − j • E dτ dt
Or E = − gradV −

∂A
∂A 
⇒ dWm =  j • grad V + j •
dτ dt


∂t
∂t 

•/•
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Phase transitoire lente d’établissement du régime stationnaire ⇒ magnétostatique
( ) ( )
Répartition des charges constante ⇒V r, t = V r
GB
dS
( )
Densités de courant évoluent de j = 0 partout à j r
⇒ Intermédiaire de λ ( t ) variant entre 0 et 1 entre les instants 0 et T
( )
( )
( )
( )
A r proportionnel à j r ⇒ ∀ t ∈ [0 , T] : j r, t = λ( t ) j r
j
( )
Σ
( )
et A r, t = λ( t )A r
⇒ Energie totale fournie au domaine D :
T
T


d λ (t )
Wm = ∫  ∫∫∫ j r • grad V r dτ λ(t ) dt + ∫  ∫∫∫ j r • A r dτ λ (t )
dt
dt


0
0
D
D
T
1
⇒ Wm = G (T) ∫∫∫ j r • grad V r dτ + ∫∫∫ j r • A r dτ avec G (T) = λ dt
2 D
D
()
()
() ()
()
( )
()
() ()
∫
0
div Φ W = Φ divW + W • grad Φ
∫∫∫ div(V j
)dτ − ∫∫∫ V div j
D
∫∫∫ div(V j
D
D
)dτ = ∫∫ V j
Σ
•
dτ
Etat final : stationnaire
⇒ div j = 0
dS = 0 (Les charges ne franchissent pas Σ)
⇒ Wm =
1
j • A dτ
∫∫∫
2 D
Energie magnétique associée à l'établissement des courants
•/•
GB
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3/ Expression de l’énergie en fonction des champs
Puisque rotB = µo j (régime permanent établi) ⇒ Wm =
(
1
2µ o
∫∫∫ A
•
rot B dτ
D
)
Identité vectorielle : div W1 ∧ W 2 = W 2 • rot W1 − W1 • rot W 2
1
Wm =
2µ o
(
)
1
div
B
∧
A
d
τ
+
∫∫∫
2µ o
D
∫∫∫ B
•
rot A dτ
=
(
)
1
1
B
∧
A
• dS +
2µ o S∫∫
2µ o
∞
D
∫∫∫
2
B dτ
D∞
dS ~ r 2
B ~
1
r2
A ~
1
r
⇒ produit ~
1
r
Intégrale sur une surface fermée d’extension infinie (rayon moyen infini) ⇒ B A dS → 0
(puisque les champs s’annulent à l’infini)
2
1
⇒ Wm =
∫∫∫ B dτ
2µ o D
∞
•/•
GB
167
4/ Localisation de l’énergie. Densité d’énergie magnétique
Localisée où les champs sont définis
1 2
u
=
B ( Jm-3 )
En chaque point de l’espace : densité d’énergie magnétique m
2µ o
∫∫∫ u m dτ
⇒ Wm =
D∞
5/ Expression en fonction du flux induit (cas du circuit fermé)
dWm =
( )(
1
1
j • A dτ = j • A dS • dl
2
2
)
Tubes de courant : dl // j ⇒ dWm =
(
)(
1
A • dl j • dS
2
)
dl
j
dS

1 
Intégrale sur la section Σ du circuit et sur toute sa longueur C : Wm = ∫  ∫∫ j • dS  A • dl
2C Σ

1
Or I = ∫∫ j • dS (constante sur le circuit) ⇒ Wm = I ∫ A • dl
2 C
Σ
(
)
()
De plus ∫ A • dl = ∫∫ rot A • dS = ∫∫ B • dS = Φ S B
C
S
S
1
2
()
En définitive Wm = I Φ S B
Flux, à travers S de l’induction B
induite par le
courant I qui
S
parcours C C
I
B
•/•
GB
168
6/ Puissance du champ électromagnétique - Théorème de Poynting
a – Loi locale
Domaine de l’espace avec charges en mouvement
εo 2
u
=
E
⇒ Densité d’énergie électrique : e
2
2
1
B
densité d’énergie magnétique : u m =
2µ o
Densité d’énergie électromagnétique : u = u e + u m
Densité de puissance électromagnétique
du
∂E 1
∂B
= εo E •
+
B•
dt
∂ t µo
∂t
(puissance fournie par le générateur pour établir le champ électromagnétique)
⇒ Puissance emmagasinée dans le circuit
1
∂E
∂B
rot
B
=
j
+
ε
Puisque rot E = −
et
o
µ
∂t
∂t
o
⇒
Identité : div W1 ∧ W 2 = W 2 • rot W1 − W1 • rot W 2
⇒
(
S=
)
du E
B
=
• rot B −
• rot E − j • E
d t µo
µo
(
)
du
1
=−
div E ∧ B − j • E
dt
µo
1
E ∧ B : vecteur de Poynting (John Henry Poynting 1852-1914)
µo
⇒Équation locale du théorème de Poynting j • E + div S = −
du
dt
•/•
GB
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b – Loi intégrale
Equation étendue au domaine D dans lequel se trouvent les charges en mouvement
(délimité par une surface Σ)
− ∫∫∫
D
du
d
dW
dτ = − ∫∫∫ u dτ = −
= S • ds + ∫∫∫ j • E dτ
dt
dt D
d t ∫∫
Σ
D
c – Interprétation
Intégrale sur j .E : Puissance dissipée par effet Joule sous forme de chaleur
Pour conservation de l’énergie : ∫∫ S • ds ⇒ puissance électromagnétique qui sort
du domaine D délimité par Σ
Σ
⇒ Puissance rayonnée à travers Σ
⇒ S=
1
E ∧ B caractérise la propagation de la puissance qui sort de Σ
µo
Σ
S
ds
•/•
170
GB
Chapitre III
AUTO INDUCTION
1/ Définitions
a – Inductance propre (ou auto-inductance ou self inductance)
Circuit C parcouru par I ⇒ création d’une induction magnétique B en tout point de l’espace
∀M
B (M ) =
µo
dl ∧ u
I
: loi de Biot et Savart
2
4π
r
∫
C
∃ un flux Φ de B à travers toute surface Σ qui s’appuie sur C
Puisque B(M ) proportionnel à I ⇒ Φ proportionnel à I
B étant à flux conservatif ( divB = 0 ), Φ est indépendant de Σ
On écrit Φ = L I
Σ
•
C
B(M )
r
Φ est un flux auto-induit
u
Idl
I
L : coefficient d’auto-induction ou inductance du circuit
(ne dépend que des caractéristiques géométriques du circuit C)
Unité de L : le Henry (abréviation H) : 1H =1T×1m2/1A
1
2
1
2
⇒ Énergie potentielle magnétique du circuit C parcouru par un courant I : Wm = Φ I = L I 2
•/•
GB
171
2/ Exemples
a – Auto-inductance d’un solénoïde infini
Solénoïde : n spires par unité de longueur, parcouru par I ⇒ B
int
= µo n I u z
uz
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
l
Pour une longueur l de solénoïde : flux auto-induit Φ = Bint S n
(S : surface d’une spire)
⇒ Φ = µ o n 2l S I = L I
⇒ Coefficient d’auto-inductance du solénoïde (ou self) : L = µ o n 2l S (H)
Remarque : L ne dépend effectivement que de la géométrie de l’enroulement
•/•
172
b – Auto-inductance d’un tore de section carrée
int
N boucles parcourues par I : B
R +a
Flux auto-induit : Φ = N
∫
I
2πρ
µo N 2I a
int
B (ρ ) 2a dρ =
π
R -a
⇒Φ=
(ρ) = µo NI u θ
(R−a < ρ < R+a)
GB
z
R +a
∫
R -a
µo N I a
ln R + a 
π
 R −a 
2
dρ
ρ
I
µ o N 2a
ln  R + a 
Coefficient d’auto inductance du tore : L =
π
 R −a 
+
ρ I
+
⊗
2a
R−a
R+a
z'
Ne dépend encore que de la géométrie de l’enroulement
•/•
GB
173
3/ Unité de la perméabilité magnétique µo
Auto inductance L est à rapprocher de la capacité C du condensateur
Condensateur plan C =
ε oS
(S surface en regard - e distance entre les armatures)
e
Unité de la permittivité électrique εo : Farad/mètre (F/m)
Ici L = µ o n 2l S (solénoïde) ⇒ Unité de µo : Henry/mètre (H/m)
REMARQUE : Unité du produit εoµo
[
Q]2
Force de Coulomb ⇒ [ε o ] =
[F][L]2
⇒ ε oµ o =
1
c
2
[
F]
[
Q]2
[
T ]2
Force de Laplace ⇒ [µ o ] =
⇒ [ε oµ o ] = 2 2 = 2
2
[I]
[I] [L] [L]
Application numérique : c ≈ 3 108 m / s
Vitesse de la lumière
•/•
GB
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4/ Force électromotrice d’auto-induction
Circuit parcouru par i ⇒ flux d’auto-induction Φ = L i (L : auto-inductance du circuit)
Si Φ varie ⇒ fem d’auto-induction e = −
dΦ
dt
⇒ courant induit en sens inverse du courant inducteur i (loi de Lenz)
Cas important : circuit indéformable (L = constante) parcouru par i variable ⇒ e = − L
FIN DU COURS
di
dt