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I.
3ème
CALCULER UN ANGLE
Chapitre T
Déterminer la mesure d’un angle :
Pour déterminer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle :
 si on connait le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, on utilise le cosinus ;
 Si on connait le côté opposé à l’angle aigu et l’hypoténuse, on utilise le sinus ;
 Si on connait le côté opposé à l’angle aigu et son côté adjacent, on utilise la tangente.
3
3,5
lu
a
Dans le triangle rectangle violet, tan γ =
tio
n
! Il faut toujours s’assurer que la calculatrice est en mode degré.
2,5
Ex : 9 p. 237 : Dans le triangle rectangle rose, cos α =
3,2
2,5
2,5
Sur la calculatrice, on tape seconde cos ( ), il s’affiche Arccos ( ) donc α  39°.
3,2
3,2
4
Dans le triangle rectangle bleu, sin β =
5
4
4
On tape seconde sin ( ), il s’affiche Arcsin( ) donc β  53°.
5
5
II.
Relations trigonométriques:
(cos x)2 + (sin x)2 = 1
Pr
o
x est la mesure d'un angle aigu:
Ev
a
3
3
On tape seconde tan ( ), il s’affiche Arctan( ) donc γ  41°.
3,5
3,5
tan x =
PD
4
5
sin x
tan x =
=
cos x
3
5
sin x
cos x
(cos x)² + (sin x)² = 1
3
( )² + (sin x)² = 1
5
9
+ (sin x)² = 1
25
9
(sin x)² = 1 –
25
25 9
(sin x)² =
–
25 25
16
(sin x)² =
x est la mesure d’un angle aigu donc sin x > 0
25
16
sin x =
25
4
sin x =
5
F
Ex : 65 p. 243
(Se note aussi cos2 x + sin2 x = 1)
4 5 4
= × =
5 3 3
III.
Angle inscrit et angle au centre:
1. Arc de cercle:
Définition : Un arc de cercle est un morceau de cercle.
A
Ex: L’arc de cercle vert d’extrémités A et B s’appelle le petit arc de cercle BA (ou AB).
L’arc de cercle rouge d’extrémités A et B s’appelle le grand arc de cercle AB.
B
2. Angle au centre:
Définition : Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Cet angle au centre coupe le cercle en deux points A et B.
« A l’intérieur » de cet angle au centre, on trouve l’arc de cercle
BA.
On dit que l'angle au centre AOB intercepte le petit arc de cercle BA.
Ex:
A
O
tio
n
B
lu
a
3. Angle inscrit dans un cercle:
Définition : Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont
les côtés coupent le cercle.
Ex:
Cet angle inscrit coupe le cercle en deux points R et S.
« A l’intérieur » de cet angle inscrit, on trouve l’arc
de cercle RS.
On dit que l'angle inscrit RMS intercepte le petit arc de cercle RS.
Ev
a
S
R
Pr
o
M
F
4. Propriétés:
Propriété 1: Quand un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, la
mesure de l'angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit.
A
PD
9 p. 256 :
L’angle au centre AIB et l’angle inscrit ACB interceptent le
même arc de cercle AB donc AIB = 2  ACB = 110°
×
I
C
B
Propriété 2: Deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure d'angle.
10 p. 256
N
M
55°
×
O
P
R
Les angles inscrits PMR et PNR interceptent le même arc de
cercle PR donc PMR = PNR = 55°.