2nde-Ch7 - Probabilités - Fiche cours - Dellac

2nde
Probabilités
I - Vocabulaire
* Lorsqu'une expérience a plusieurs résultats et qu'on ne peut ni prévoir ni calculer lequel de ces résultats sera réalisé, on dit que cette
expérience est une expérience aléatoire
* Lors de la réalisation d'une expérience aléatoire, les résultats que l'on peut obtenir s'appellent les issues de cette expérience aléatoire.
* L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers. On le note souvent Ω ( oméga ).
* Dans une expérience aléatoire :
Tout ensemble d’issues est appelé événement
Un événement qui contient une seule issue est appelée événement élémentaire
Un événement qui contient toutes les issues est un événement certain, noté Ω
Un événement qui ne contient aucune issue est un événement impossible, noté
∅
Soit A un événement; l’événement contraire de A, noté A est l’événement qui contient toutes les issues de Ω qui ne
sont pas dans A
II - Définition d'une probabilité
Propriété et définition 1
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, on remarque alors que la fréquence de réalisation de chaque
issue se stabilise.
Au XVIIème siècle, Jacques Bernoulli démontre que cette fréquence se stabilise vers une valeur que l’on définit comme la
probabilité de l’issue considérée.
Définitions 2
Considérons une expérience aléatoire.
Issue
x1
x2
x3
Probabilité
p1
p2
p3
...
...
xn
pn
Les nombres pi sont tels que : 0  pi  1 et
Total
1
Ce tableau s'appelle la loi de probabilité de
l'expérience aléatoire.
p1 + p2 + ... + pn = 1
La probabilité d’un événement A, notée p(A) est la somme des probabilités des issues qui constituent A.
Propriétés 3
* A est un évènement certain ⇔ p (A) = 1
* A est un évènement impossible ⇔ p (A) = 0
* Pour tout évènement A on a : 0  p (A)  1
* Pour tout évènement A on a : p ( A ) = 1 − p (A)
III - L'équiprobabilité
Définition 4
Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que l'on est dans une situation
d'équiprobabilité.
1
Dans ce cas, si l'expérience aléatoire possède n issues, chaque issue a pour probabilité p =
n
Propriété 5
Considérons une expérience aléatoire en situation d'équiprobabilité et A un évènement.
Alors, la probabilité de l'évènement A vaut :
p (A) =
nombre d'issues réalisant l'évènement A
nombre d'issues de l'expérience aléatoire
IV - Intersection et réunion d'évènements
Définitions 6
Si A et B désignent deux évènements, on appelle intersection de A et B, notée A ∩ B,
l'évènement formé par les issues qui réalisent à la fois l'évènement A et l'évènement B.
Si A et B désignent deux évènements, on appelle réunion ( ou union ) de A et B,
notée A ∪ B, l'évènement formé par les issues qui réalisent l'évènement A ou
l'évènement B ( c'est-à-dire au moins l'un des deux ).
Exemple : on lance un dé à 12 faces ( numérotées de 1 à 12 ).
On considère les évènements : A : " obtenir un nombre impair " et B " obtenir un multiple de 3 "
On a : A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 } et B = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 }
Donc A ∩ B = { 3 ; 9 } et A ∪ B = { 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11 ; 12 }
Propriété 6
Considérons une expérience aléatoire et deux évènements quelconques A et B de cette expérience.
On a alors :
p( A∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
Reprenons l'exemple précédent, en supposant que le dé soit équilibré.
6
4
On a :
p (A) =
p (B) =
12
12
On a bien :
6
4
2
8
+ − =
12 12 12 12
p (A ∪ B ) =
8
12
donc on a bien : p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
p (A ∩ B ) =
2
12