Feuille

Univ. P & M. Curie
2009-2010
LM110
MIME 154
TD2 : Généralités sur les
fonctions
Dans toute la feuille, on note, pour x ∈ R, E(x) la partie entière de x. On rappelle que c’est le plus grand entier
inférieur ou égal à x. Il est caractérisé par E(x) ∈ Z, et une des inégalités suivantes :
E(x) ≤ x < E(x) + 1
ou
x − 1 < E(x) ≤ x.
Encore des dérivées
Exercice 1
Calculer les dérivées des fonctions suivantes (où a > 0).
1) sin(x2 )
2) ln(ln(x))
5) (ln(cos x))2
6) e1/ ln x
3) ln(ln(ln(x)))
7) ax
2
4) ex
8) xx
Exercice 2
1. Montrer que sur ]−π/2, π/2[ la fonction tangente a une dérivée qui ne s’annule pas, et qu’elle réalise une bijection
de ] − π/2, π/2[ sur R. On admet que cela impose que la fonction tangente a une réciproque dérivable, autrement
dit qu’ il existe une fonction, appelée arctangente et notée arctan, définie et dérivable sur R, telle que pour tout
x ∈ R, tan(arctan x) = x, et pour tout x ∈] − π/2, π/2[, arctan(tan x) = x.
2. Trouver la dérivée de arctan.
3. Donner les valeurs de arctan 1, arctan(−1) et de arctan(tan x) pour x ∈]π/2, 3π/2[.
4. Pour x ∈ R∗ , simplifier la formule
1
arctan x + arctan .
x
Un peu de tout
Exercice 3
On considère une fonction f : [0, 1] → [0, 1] telle que
∀x ∈ [0, 1] 2x − f (x) ∈ [0, 1]
et f (2x − f (x)) = x.
1. Pour x ∈ [0, 1], on pose g(x) = 2x − f (x). Dire pourquoi on peut définir g ◦ g, et montrer que pour x ∈ [0, 1],
g ◦ g(x) = 2g(x) − x.
2. En déduire que pour tout x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗ , g (n) (x) = n(g(x) − x), où g (n) (x) = g ◦ · · · ◦ g(x).
2
3. En déduire que |g(x) − x| ≤ . Puis en déduire g et f .
n
Exercice 4
Soit f : R → R une fonction T -péridique (T > 0). On suppose que f est bornée sur [0, T [. Montrer que f est bornée
sur R.
Exercice 5
Soit a, b ∈ R tels que
ln2 (2 − x)
= 1.
x→1 x2 + ax + b
lim
Trouver a et b.
Continuité locale
Exercice 6
Soit f : R → R une fonction continue en 0. On suppose qu’il existe a ∈ R\{−1, 1} tel que
∀x ∈ R f (ax) = f (x).
1. Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N, f (an x) = f (x).
2. Montrer que cela reste vrai pour n ∈ Z.
3. En déduire que f est constante (on pourra distinguer les cas où |a| > 1 et |a| < 1).
Exercice 7
Tracer le graphe de la fonction x 7→ E(x). Dire en quels points elle est continue. Même question avec x 7→ E(1/x),
puis x 7→ xE(1/x).
Exercice 8
On rappelle que Q est l’ensemble des nombres
rationnels, c’est-à-dire ceux qui peuvent s’écrire sous la forme p/q où
√
p ∈ Z et q ∈ N∗ . On rappelle aussi que 2 ∈
/ Q (on dit qu’il est irrationnel).
√
1. Pour x ∈ Q, montrer que la suite (x + 2/n)n≥1 est une suite de R\Q tendant vers x.
2. Pour x ∈
/ Q, montrer que la suite (E(nx)/n)n≥1 est une suite de Q tendant vers x.
3. Montrer que la fonction f définie par
f (x) =
1
0
si
si
x∈Q
x∈
/Q
n’est continue en aucun point de R.
Exercice de recherche
Soit f :]0, +∞[→ R une fonction croissante. On suppose que x 7→ f (x)/x est décroissante. Montrer que f est continue.