DM7 Mathématiques La suite de Fibonacci et le nombre d`or

DM7 Mathématiques
MPSI2
Pour le 13/01/17
La suite de Fibonacci et le nombre d’or
En 1202, Leonardo Fibonacci introduit la suite, que nous allons étudier dans ce problème, pour décrire la croissance
d’une population de lapins. Cette suite est fortement liée au nombre d’or. Le nombre d’or apparait en phyllotaxie,
une branche de la botanique qui étudie l’ordre dans lequel sont implantées les feuilles le long de la tige d’une plante
ou l’agencement des fleurons et des écailles dans divers fruits et fleurs. Plus récemment, on trouve aussi le nombre
d’or jouant un rôle crucial dans les travaux de physiciens concernant les quasicristaux ou même en cardiologie ! Le
nombre d’or a nourri les analyses d’auteurs intéressés par l’art, l’architecture ou les proportions du corps humain. En
guise d’introduction, vous pouvez regarder la courte vidéo ”La nature par les nombres” disponible sur YouTube.
A-Préliminaires
La suite de Fibonacci, notée (Fn ), est définie par :

 F0 = 0
F1 = 1

∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn
1. Lien avec le nombre d’or.
(a) Calculer Fn pour n ∈ J2, 10K.
(b) Démontrer que : lim Fn = +∞.
n→+∞
(c) Expliciter le réel positif ϕ tel que ϕ2 = ϕ + 1. Ce réel est appelé le nombre d’or.
(d) Exprimer l’autre solution de l’équation ci-dessus en fonction de ϕ.
(e) Démontrer la formule de Binet
1
:
1 ∀n ∈ N, Fn = √ ϕn − (−ϕ)−n
5
Fn+1
= ϕ.
n→+∞ Fn
2. Premières formules sur la suite de Fibonacci.
(f) Démontrer que : lim
(a) Démontrer que : ∀n ∈ N∗ , ϕn = Fn ϕ + Fn−1 .
n
X
(b) Démontrer que : ∀n ∈ N,
F2k+1 = F2n+2 .
(c) Démontrer que : ∀n ∈ N,
k=0
n
X
F2k = F2n+1 − 1.
k=0
(d) Démontrer que : ∀n ∈ N,
(e) Démontrer que : ∀n ∈ N,
n
X
k=0
n
X
Fk = Fn+2 − 1.
Fk2 = Fn Fn+1 .
k=0
(f) Démontrer par récurrence double que : ∀n ∈ N, Fn+1 =
n X
n−k
.
k
k=0
1
Jean-Philippe Binet (1786-1856) est un mathématicien et astronome français. Vous rencontrerez également des formules de Binet en
physique pour décrire la vitesse et l’accélération d’un corps soumis à une force centrale.
DM7 Mathématiques
MPSI2
Pour le 13/01/17
3. Autour du nombre d’or.
(a)
i. Démontrer que : ∀n ∈ Z, ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn .
ii. En déduire que : ∀n ∈ N, Fn ≤ ϕn .
(b) Un rectangle d’or est un rectangle dont la longueur L et la largeur l vérifient :
L
que vaut ?
l
2π π (c) Exprimer cos
et cos
en fonction de ϕ.
5
5
L+l
L
= . Dans ce cas,
L
l
On pourra utiliser sans démonstration les résultats de l’exercice 2 du DM1.
(d) Démontrer que ϕ est irrationnel.
4. Composer votre fib. Un fib est un poème composé de 6 vers ayant respectivement 1, 1, 2, 3, 5 et 8 syllabes.
Par exemple :
Fruits
Fleurs
Flocons
Âmes et corps
Comme les fonctions
Sont régis par le nombre d’or.
(Fib de Tiphaine, Florian et Éléa)
B-Les nombres de Fibonacci et l’arctangente.
1. Démontrer l’identité de Cassini
2
2
: ∀n ∈ N, Fn+1
− Fn Fn+2 = (−1)n .
2. En déduire que :
1 1 1 = Arctan
+ Arctan
∀n ≥ 1, Arctan
F2n
F2n+1
F2n+2
On pourra commencer par démontrer que les deux quantités mises en jeu ont la même tangente.
3. En déduire les formules suivantes :
1
1
π
(a)
= Arctan
+ Arctan
.
4
2
3
1
1
π
1
(b)
= Arctan
+ Arctan
+ Arctan
.
4
2
5
8
1
1
1
1
π
(c)
= Arctan
+ Arctan
+ Arctan
+ Arctan
.
4
2
5
13
21
n
1 X
1 4. On considère la suite définie pour n ≥ 0 par : un = Arctan
+
Arctan
.
F2n+2
F2k+1
k=0
(a) Démontrer que la suite (un ) est constante.
(b) En déduire que :
+∞
1 π X
=
Arctan
2
F2k+1
k=0
2
Jean-Baptiste Cassini (1625-1712), astronome à qui l’on doit aussi la découverte des satellites de Jupiter.
DM7 Mathématiques
MPSI2
Pour le 13/01/17
C-Arithmétique des nombres de Fibonacci
1. En analysant l’identité de Cassini, démontrer que pour tout n ∈ N, Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.
2. (a) Démontrer que : ∀(n, p) ∈ N∗ × N, Fn+p = Fn−1 Fp + Fn Fp+1 .
(b) En déduire que : ∀(n, p) ∈ N∗ × N, pgcd(Fn+p , Fn ) = pgcd(Fp , Fn ).
(c) En déduire que : ∀(n, p) ∈ N∗ × N, ∀q ∈ N, pgcd(Fqn+p , Fn ) = pgcd(Fp , Fn )
(d) Démontrer finalement que : ∀(m, n) ∈ N2 , pgcd(Fm , Fn ) = Fpgcd(m,n) .
3. Démontrer que pour tout n ≥ 3 et pour tout entier naturel m : Fn |Fm ⇔ n|m.
4. Soit m ≥ 5, démontrer que si Fm est un nombre premier alors m est un nombre premier. Trouver un contreexemple non trivial à la réciproque.
On ignore actuellement si la suite de Fibonacci contient une infinité de nombres premiers.
D-Théorème de Zeckendorf
Le but de cette partie est de démontrer le théorème de Zeckendorf 3 qui affirme que tout entier naturel non nul
s’écrit de façon unique comme somme de nombres de Fibonacci non consécutifs.
1. Soient (a, b) ∈ N2 , on notera a >> b pour exprimer que a ≥ b + 2. Soit n ∈ N∗ , on dit que n possède une
décomposition de Zeckendorf si et seulement s’il existe p ∈ N∗ et des entiers naturels (ki )1≤i≤p tels que :
n=
p
X
Fki et k1 >> k2 >> ... >> kp >> 0 (F)
i=1
(a) Donner une décomposition de Zeckendorf pour les entiers de 1 à 13.
(b) On fixe n ∈ N∗ , démontrer que {k ∈ N, k ≥ 2 et Fk ≤ n} admet un maximum, que l’on note k1 .
(c) Démontrer par récurrence forte que tout entier naturel non nul possède une décomposition de Zeckendorf.
2. On suppose que n ∈ N∗ possède une décomposition de Zeckendorf de la forme (F). Démontrer que k1 est unique,
on pourra utiliser les formules 2.(b) et 2.(c) de la partie A.
3. En déduire le théorème annoncé.
4. Épatez vos proches ! Vous distribuez 8 cartes numérotées contenant des entiers de 1 à 54.
Carte 1 : 1,4,6,9,12,14,17,19,22,25,27,30,33,35,38,40,43,46,48,51,53
Carte 2 : 2,7,10,15,20,23,28,31,36,41,44,49,54
Carte 3 : 3,4,11,12,16,17,24,25,32,33,37,38,45,46,50,51
Carte 4 : 5,6,7,18,19,20,26,27,28,39,40,41,52,53,54
Carte 5 : 8,9,10,11,12,29,30,31,32,33,42,43,44,45,46
Carte 6 : 13,14,15,16,17,18,19,20,47,48,49,50,51,52,53,54
Carte 7 : 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33
Carte 8 : 34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54
Vous demandez à une personne de choisir au hasard un entier entre 1 et 54. Vous lui demandez ensuite sur
quelles cartes apparaı̂t le numéro choisi, puis vous devinez presque instantanément le numéro choisi. Comment
faites-vous ?
3
Edouard Zeckendorf (1901-1983), médecin, officier de l’armée et mathématicien belge.
DM7 Mathématiques
MPSI2
Pour le 13/01/17
E-Suites récurrentes et nombre d’or
1. On définit la suite (un ) par :
avec f : x 7→
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
√
u0 = 1
√
∀n ∈ N, un+1 = 1 + un = f (un )
1 + x définie sur R+ .
Justifier que (un ) est correctement définie.
Démontrer que (un ) est croissante. On pourra justifier d’abord que f est croissante sur R+ .
Démontrer que : ∀n ∈ N, un ∈ [0, ϕ].
En déduire que (un ) est convergente.
Démontrer que le seul point fixe de f sur R+ est ϕ.
En déduire que (un ) tend vers ϕ.
2. On définit la suite (vn ) par :

 v0 = 1
 ∀n ∈ N, vn+1 = 1 +
1
vn
(a) Écrire les premiers termes de la suite (vn ) sous forme de fractions. Proposer une conjecture et démontrer-la.
(b) En déduire que (vn ) converge vers ϕ.
3. Expliquer l’égalité suivante :
r
q
√
1 + 1 + 1 + ··· = 1 +
1
1
1+
1+
..
.
F-Utilisation de Python
1. Calcul des nombres de Fibonacci.
(a) Écrire une fonction utilisant une boucle f or qui prend en entrée un entier naturel n et renvoie Fn .
(b) Écrire une fonction récursive qui prend en entrée un entier naturel n et renvoie Fn .
(c) Écrire une fonction qui prend en entrée un entier naturel n et renvoie Fn en utilisant la formule de Binet.
(d) Tester vos trois fonctions précédentes avec différentes valeurs de n. Commenter.
2. (a) Distance à Z. À l’aide de Python, calculer ϕn pour n ∈ J1, 20K. Que remarque-t-on ? Le but de ce qui
suit est de démontrer cette conjecture.
1
(b) Démontrer que pour tout n ∈ N, ϕn +
est un entier naturel. On pourra effectuer une récurrence
(−ϕ)n
double sur n.
1
(c) Démontrer que : lim
= 0.
n→+∞ (−ϕ)n
(d) En déduire le résultat voulu.
3. Mot de Fibonacci. La suite des mots de Fibonacci est définie par :

 S1 = 1
S2 = 0

∀n ∈ N, Sn+2 = Sn+1 ? Sn
L’opération ? est la concaténation.
DM7 Mathématiques
MPSI2
Pour le 13/01/17
(a) Donner les mots Sn pour n allant de 1 à 7.
(b) Soit n ∈ N∗ . Combien de lettres a le mot Sn ? Combien y-a-t-il de 0 dans Sn ? Combien y-a-t-il de 1 dans
Sn ?
(c) Écrire une fonction qui prend en entrée un entier naturel non nul n et renvoie Sn .
(d) La fractale de Fibonacci se construit en parcourant les mots de Fibonacci, pour chaque lettre numérotée à
la position k dans le mot (en commençant à k = 0) :
• On trace un segment.
• Puis, si c’est un 0, on fait un quart de tour vers la droite si k est pair et vers la gauche si k est impair.
À l’aide du module Pixel, tracer la fractale de Fibonacci obtenue en parcourant le mot S8 . Même question
avec S14 puis enfin avec S20 . On fournira également le script qui a permis de faire ces tracés.
4. Décomposition de Zeckendorf.
(a) Écrire une fonction qui prend en paramètre un entier naturel non nul n et renvoie sa décomposition de
Zeckendorf. On pourra utiliser des fonctions auxiliaires pour clarifier le programme.
(b) Quelle est la décomposition de Zeckendorf de 2016 ?
G-En vrac
1. Lien avec le dénombrement. De combien de façons peut-on monter un escalier de n marches en s’autorisant
des pas de une marche ou de deux marches (s’il ne reste qu’une marche à monter, on ne pourra pas faire un pas
de deux marches). On pourra prendre des petites valeurs de n pour intuiter le résultat puis le démontrer.
n
h 1h
X
2. Série génératrice. Soit x ∈ 0,
et n ∈ N, on pose : Sn (x) =
Fk xk .
ϕ
k=0
2
(a) Simplifier (1 − x − x )Sn (x).
x
.
n→+∞
1 − x − x2
(c) Que vaut y = 0.1 + 0.01 + 0.002 + 0.0003 + 0.00005 + 0.000008 + 0.0000013 + 0.00000021 + ... ?
3. Paradoxe de Lewis Carroll 4 On découpe un carré 8 × 8 en deux triangles et deux trapèzes comme indiqué
ci-dessous. On réarrange les quatre morceaux en un seul rectangle de taille 5 × 13.
(b) En déduire que : lim Sn (x) =
(a) Expliquer ce paradoxe.
(b) Pour n ≥ 5, expliquer la généralisation ci-dessous :
4
Lewis Carroll (1832-1898) est un romancier et mathématicien anglais. Il a notamment écrit Alice au pays des merveilles.
DM7 Mathématiques
MPSI2
Pour le 13/01/17
4. Solitaire infini. On place une infinité de billes sur les cases d’ordonnées négatives d’un quadrillage infini. On
joue selon les règles du solitaire en éliminant une bille lorsque l’on saute par dessus avec une autre. Le but est
d’étudier la hauteur maximale que l’on peut atteindre en un nombre fini de coups.
Dans l’exemple ci-dessus la grille après un coup : la bille de coordonnées (0, −1) est passée par dessus la bille
de coordonnées (0, 0) pour arriver au point de coordonnées (0, 1).
(a)
i. Expliquer comment arriver à une hauteur de y = 2.
ii. Expliquer comment arriver à une hauteur de y = 3.
iii. Expliquer comment arriver à une hauteur de y = 4.
Pour répondre aux trois questions précédentes, on pourra donner la liste des coups effectués en utilisant
les coordonnées.
(b) Nous allons démontrer qu’il est impossible d’arriver à une hauteur de y = 5. À la case de coordonnées
(x, y), on associe la valeur ϕy−|x| .
i. Démontrer que :
+∞
X
ϕ−y = ϕ2 .
y=0
La notation
+∞
X
ϕ−y est à comprendre comme : lim
n→+∞
y=0
ii. Démontrer que :
+∞ X
+∞
X
n
X
ϕ−y .
y=0
ϕ−y−x = ϕ4 .
x=0 y=0
iii. Démontrer que :
+∞ X
+∞
X
ϕ−y−x = ϕ3 .
x=1 y=0
iv. En déduire que la somme de toutes les valeurs des cases ayant des billes dans la position initiale du
solitaire infini vaut ϕ5 .
v. Démontrer que si une bille atteint la case (0, 5) alors la somme de toutes les valeurs des cases ayant
des billes est strictement supérieure à ϕ5 .
(c) Démontrer qu’à chaque mouvement de bille la somme de toutes les valeurs des cases diminue ou reste
constante. Conclure.