Probabilités, L2424, 2014 Contrôle continu - LAMA

Probabilités, L2424, 2014
Contrôle continu
Exercice 1. (Questions de cours).
1. On considère un ensemble E et A et B deux parties finies. Montrer que
card (A ∪ B) = card (A) + card (B) − card (A ∩ B).
2. On considère un espace probabilisé (Ω, A , P) et deux évènements A et B. Que signifie A et B sont indépendants ? que
signifie A et B sont incompatibles, que signifie P(A | B) ? Donner un exemple dans chaque cas.
Solution. Voir le cours !
Exercice 2 (Valet, Dame, Roi, As). On considère les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 52 cartes.
1. Combien y a-t-il de mains différentes ?
2. Combien y a-t-il de mains comprenant exactement un as ?
3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
Solution.
5 .
1. Une main correspond à un choix de 5 cartes. Par conséquent, le nombre de mains différentes est C52
2. Pour obtenir une main comprenant un as, on choisit un as, on a 4 choix, on choisit ensuite 3 cartes parmis les 48
3 .
restants. Le nombre de mains comprenant exactement un as est donc 4.C48
3. Pour obtenir une main contenant au moins un valet il suffit de considérer l’ensemble des mains possibles privé de
5 −C 5 .
l’ensemble des mains ne comprenant pas de valet. Le nombre de mains possibles est donc C52
48
4. On note R les mains contenant au moins un roi et D les mains contenant au moins une dame. On cherche card (R ∩ D).
On utilise la formule
card (R ∪ D) = card R + card D − card (R ∩ D).
On cherche pour cela card (R ∪ D). On note M l’ensemble des mains possibles. Nous avons
card (R ∪ D) = card (M) − card (M \ (R ∪ D)).
5 choix possibles.
Une main ne contenant ni roi ni dame est construite en choisissant 5 cartes parmis 44, il y a donc C44
Nous concluons donc que
5
5
5
5
card (R ∩ D) = card R + card D − card M + card (M \ (R ∪ D)) = 2(C52
−C48
) −C52
+C44
.
Exercice 3 (Probabilités et fabrication). Un atelier reçoit 5000 circuits intégrés : 1000 en provenance de l’usine A et 4000
en provenance de l’usine B, 10% des circuits fabriqués par l’usine A et 5% de ceux fabriqués par l’usine B sont défectueux.
1. On choisit au hasard un circuit intégré à l’atelier. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?
2. Sachant qu’un circuit choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu’il vienne de l’usine de A ?
1
Solution.
1. On note A l’évènement “le circuit provient de l’usine A”. On note B “l’évènement le circuit provient de
l’usine B”. On note D l’évènement “le circuit est défectueux”.
Nous avons donc la réunion disjointe D = (D ∩ A) ∪ (D ∩ B). Par conséquent nous avons
P(D) = P(D ∩ A) + P(D ∩ B) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B)
D’après l’énoncé nous avons P(A) = 51 , P(B) = 45 , P(D | A) =
P(D) =
1
10 ,
P(D | B) =
1
20 .
On obtient donc
1 4
3
1 1
+
= .
10 5 20 5 50
2. Nous devons calculer P(A | D). Nous avons alors
P(A | D) =
P(A ∩ D) P(D | A)P(A)
=
=
P(D)
P(D)
1 1
10 5
3
50
1
= .
3
Exercice 4 (Les mystères de la patience). On considère un jeu de cartes standard composé de 54 cartes. Ce jeu de cartes
contient 26 cartes dont la couleur est rouge, 26 cartes donc la couleur est noire et 2 jokers. On suppose que le jeu de carte est
bien mélangé.
1. On tire une carte au hasard dans le jeu. On considère la variable aléatoire qui vaut 1 si la carte est de couleur rouge et
0 sinon. Donner la loi de X. Représenter la fonction de répartition de X. Donner l’espérance de X. Quel est le nom de
cette loi ?
2. On tire simultanément n cartes du jeu. On note X la variable aléatoire qui vaut 1 si il y a un Joker parmis les n cartes
et 0 sinon. Donner la loi de X. Quelle est son espérance, quel est le nom de cette loi ?
3. On tire n fois de suite avec remise une carte du jeu. On note Xn la somme des résultats obtenus avec la convention que
l’on compte 1 si on a obtenu une carte noire et 0 sinon. Donner la loi de Xn , calculer son espérance. Quel est le nom
de cette loi ?
4. On effectue des tirages avec remise d’une carte dans notre jeu. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre
de tirages nécessaires jusqu’à l’obtention d’un joker. Calculer sa loi et son espérance, quel est le nom de cette loi ?
Solution (Les mystères de la patience). On considère un jeu de cartes standard composé de 54 cartes. Ce jeu de cartes
contient 26 cartes dont la couleur est rouge, 26 cartes donc la couleur est noire et 2 jokers. On suppose que le jeu de carte est
bien mélangé.
1. On tire une carte au hasard dans le jeu. On considère la variable aléatoire qui vaut 1 si la carte est de couleur rouge et
0 sinon. Par équiprobabilité, nous avons
P(X = 1) =
nombre de cartes de couleur rouge 13
=
= p,
nombre de cartes
27
et
nombre de cartes qui ne sont pas de couleur rouge 14
=
= 1 − p.
nombre de cartes
27
La fonction de répartition est donc la fonction

x<0
 0 si
14
F(x) =
si
0
≤
x<1 .
 27
1 si
1≤x
P(X = 0) =
L’espérance de X est E(X) = P(X = 1)p =
13
27 .
La variable aléatoire suit une loi de Bernouilli de paramètre p =
13
27 .
2. On tire simultanément n cartes du jeu. On note X la variable aléatoire qui vaut 1 si il y a un Joker parmis les n cartes
n . Le nombre de choix de n cartes ne comportant pas de
et 0 sinon. Le nombre de choix de n cartes parmis 54 est C54
n
n
n . Nous avons donc P(X = 0) = C52 et P(X = 1) = 1 − C52 .
Joker est C52
Cn
Cn
Cn
54
54
Cn
52
L’espérance de X est E(X) = 1 − C52
n . La variable aléatoire suit une loi de Bernouilli de paramètre 1 − Cn .
54
54
2
3. On tire n fois de suite avec remise une carte du jeu. On note Xn la somme des résultats obtenus avec la convention
que l’on compte 1 si on a obtenu une carte noire et 0 sinon. Les valeurs prises par Xn sont les entiers compris entre
0 et n. Soit k un tel entier. Une éventualité de l’événement X = k correspond à un choix de k cartes (qui seront de
couleur noire) parmis n. Pour un tel choix la probabilité de tirer une telle combinaison est pk (1 − p)n−k avec p = 13
27 .
Par conséquent
P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k .
Cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres (n, p). L’espérance d’une variable aléatoire binomiale se
calcule en considérant qu’une telle variable aléatoire est la somme de n variable aléatoire de Bernouilli indépendantes
et identiquement distribuées. L’espérance étant linéaire nous obtenons que E(X) = np = 13n
27 .
4. On effectue des tirages avec remise d’une carte dans notre jeu. On note X la variable aléatoire correspondant au
nombre de tirages nécessaires jusqu’à l’obtention d’un joker. Par la propriété de continuité décroissante des mesures
de probabilités, on peut montrer que la probabilité que le Joker n’apparaisse jamais est nulle.
Les valeurs de X sont les entiers non nuls. Soit k ∈ N∗ , la probabilité que l’on tire un Joker au k-ième coup et pas
1
avant est P(X = k) = (1 − p)k−1 p où p = 27
est la probabilité de tirer une carte de couleur noire parmis 54 cartes. On
calcule l’espérance de X par la formule
∞
E(X) =
∞
∑ P(X = k)k = p ∑ k(1 − p)k−1 .
k=1
k=1
La série entière ∑k≥1 kxk−1 est de rayon de convergence 1 et sa somme est égale à
E(X) =
1
p.
La variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p.
3
1
.
(x−1)2
Par conséquent, nous avons