Lois à densité

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Lois à densité
Lois de probabilités à densité
On dit qu’une variable aléatoire est continue, si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle I inclus dans R
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans un intervalle I ⊂ R, suit une loi de probabilité de densité f sur I, si pour tout intervalle J ⊂ I, on a
Z
p (X ∈ J) = f (x) dx
J
Définition 44
La fonction f devant vérifier les propriétés suivantes :
• f est une fonction continue sur l’intervalle I.
• f est une fonction positive sur l’intervalle I.
Z
•
f (x) dx = 1.
I
Soit X une variable aléatoire continue, à valeurs sur I, suivant une loi de probabilités de densité f alors :
a. Quel que soit x 0 dans I,
p (X = x 0 ) = 0
Propriété 57
b. Quels que soient a et b dans I
p(X ∈ [a, b]) = p(X ∈ [a, b[) = p(X ∈ ]a, b]) = p(X ∈ ]a, b[)
c. p(X > a) = p(X > a)
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Définition 45
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle I = [a, b], si sa densité
1
de probabilité f est la fonction constante sur I, égale à
b−a
Soit X une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle I = [a, b].
Soient α et β tels que a 6 α 6 β 6 b, et soit J = [α, β], alors
¡
¢
p(J) = p [α, β] =
Propriété 58
Ou encore
p(J) =
42
Z
β
α
1
β−α
dx =
b−a
b−a
Longueur de J
Longueur de I
Sommaire chapitre 13
Francis C ORTADO
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle [a, b].
On appelle espérance mathématique de X le réel noté E(X) et définit par :
Définition 46
E(X) =
a +b
2
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de densité f sur un intervalle [a, b].
On appelle espérance mathématique de X, le réel noté E(X) défini par
Définition 47
b
Z
E(X) =
t f (t ) dt
a
Loi exponentielle de paramètre λ sur [0, +∞[
Définition 48
On dit qu’une variable aléatoire T, à valeurs dans [0, +∞[, suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, si pour tout a > 0, on a
p(T 6 a) = 1 − e−λa
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, alors pour tous
réels positifs a et b :
Propriété 59
a. p(T < b) = p(T 6 b) = 1 − e−λ b
b. p(T > a) = p(T > a) = e−λ a
c. p(a 6 T 6 b) = e−λ a − e−λ b
Propriété 60
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0.
Alors pour tous réels positifs t et h
pT>t (T > t + h) = p(T > h)
Propriété 61
La fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ > 0, est la fonction définie sur
[0, +∞[ par :
t 7−→ λe−λ t
Définition 49
On appelle espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ, le réel définit par
Z x
E = lim
t × λe−λ t dt
x→+∞
0
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors :
Propriété 62
E(X) =
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 13
1
λ
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Loi normale centrée réduite sur R
Théorème de Moîvre-Laplace
Soit pour tout entier naturel n, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B (n, p), soit
Zn la variable centrée réduite correspondante :
Xn − np
Zn = p
np(1 − p)
Théorème 21
Alors pour tout réel a et b, tels que a < b :
Z
lim p (a 6 Zn 6 b) =
n→+∞
b
x2
1
p e− 2 dx
2π
a
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, notée N (0, 1), si elle
admet pour densité de probabilité la fonction f définie sur R par
Définition 50
x2
1
f (x) = p e− 2
2π
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, alors pour tout réel a et
b tels que a < b, on a
Propriété 63
Z
p (a 6 X 6 b) = p ([a, b]) =
b
a
x2
1
p e− 2 dx
2π
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite, et soit u un réel
positif.
Propriété 64
a. p(X > 0) = p(X 6 0) = 0, 5
b. p(X 6 −u) = p(X > u) = 1 − p(X 6 u)
c. p(−u 6 X 6 u) = 1 − 2p(X > u) = 2p(X 6 u) − 1
Définition de l’espérance et de la variance
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.
a. On appelle espérance de X, le réel définit par
0
Z
E(X) = lim
x→−∞
Définition 51
x
y
Z
t f (t ) dt + lim
y→+∞
t f (t ) dt
0
Où t 7−→ f (t ) est la densité de probabilité de X
b. On appelle variance de X le réel positif définit par
¡
¢
Var(X) = E (X − E(X))2
c.
E(X) = 0 et Var(X) = 1
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Sommaire chapitre 13
Francis C ORTADO
Théorème 22
Soit Z une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite N (0, 1).
Pour tout α ∈ ]0, 1[, il existe un unique réel positif noté u α tel que :
p (−u α 6 Z 6 u α ) = 1 − α
Loi normale N (µ, σ2 )
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ2 ), si la variable aléatoire
normale centrée réduite N (0, 1)
X−µ
σ
suit la loi
a. Son espérance est E(X) = µ.
Définition 52
Francis C ORTADO
b. Sa variance est Var(X) = σ2 , et son écart-type est σ.
¡
£
¤¢
c. p X ∈ µ − σ, µ + σ w 0, 68
¡
£
¤¢
d. p X ∈ µ − 2σ, µ + 2σ w 0, 95
¡
£
¤¢
e. p X ∈ µ − 3σ, µ + 3σ w 0, 997
Sommaire chapitre 13
45