Sélections continues

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
G ABRIEL M OKOBODZKI
Sélections continues
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 2 (1963), exp. no 1, p. 1-8
<http://www.numdam.org/item?id=SC_1963__2__A1_0>
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Séminaire CHOQUET
(Initiation
1-01
l’Analyse)
année, 1963, n° 1
2e
à
SÉLECTIONS CONTINUES
par Gabriel MOKOBODZKI
[d’après Ernest
1.
Position
Soient
multivoque
Y ).
de
te
(a)
(b)
On
un
f :
X ~Y
y
telle que
(ou
A
f(x)
et
e
X - Y
tout
sous-ensemble
dans
un
~(x)
f
sur
g(x)
ainsi
X’
(X; $ ~ Y)
qu’il
pour
vide
non
exis-
xeX .
il existe
un
voisinage
U
de
tel
x
o
U , continue,
e
~(x)
voisinage
de
un
application
une
ayant les propriétés suivantes ?
pour tout
de
X
et si
X ,
est
g
pour tout
x E
une
A ,
application continue de
alors il existe
f
A
définie
A) et
appellera sélection continue de $ ,
a
est
x
$(x~) ,
est fermé dans
sous-ensemble
On
topologiques séparés~ ~ :
continues
Pour tous
Si
X
(pour
Y
d’applications
(c)
dans
sur
dans
est définie
f
que
X
deux espaces
Quelles conditions doit vérifier le triplet
famille
une
Y
et
de
(*)]
problème.
du
X
NIICHAEL
une
à valeurs dans
application continue
Y,
f
définie
et telle que, pour tout
x
sur
e X’ ,
formulation
générale pour les problèmes de sections continues
application, d’extensions d’applications continues, etc., qui semble particulièrement bien adaptée.
une
d’une
suit est seulement une introduction aux travaux de
MICHAEL sur
continues et sur la caractérisation des
espaces paracompacts :
MICHAEL (Ernest). - Continuous sélections,
I., Annals of Math., t. 63, 1956
qui
les sélections
p.
3612014382.
Une classe importante
de sélections continues
férieurement dont
d’applications multivoques intervient dans les problèmes
: ce sont les applications multivoque s semi-continues inla définition :
rappelle
on
DEFINITION. - Une application
multivoque 03A6 de X
continue inférieurement en abrégé s. c. i. si. pour
2.
tel
Y
vert de
c~ ~ ~ ,
n
s.
f
(03C603B1)03B1~A
une
X
par
$ ~ définie
est
application
une
i. si et seulement si
c.
2° Soit
s.
c.
sur
continue de
f
sens
x E
V
voisinage
X
dite semi-
et tout
X
de
tel
w
que
->
3.
f
famille
fonction
une
~~. ~ f (x~ ~
Soient
définit
X
Y
et
L° Si
d’applications
s.
c.
U ~.
est
3° Soient
dans
Y
tout
x E
x ->
f" (x)
est
3C
continues de
dans
Y ; alors
i. si et seulement si elle est continue
au
Z
c.
i.
au sens
application multivoque
s.
c.
applications multivoques
s.
c. i.
s. c.
i. de
une
des
c.
sur
X ,
s.
i.
topologiques.
famille d’applications
une
ordinaire ; alors
X
dans
Y ,
alors
i.
est
s.
c.
i.~ ~ ~
définie pour tout
x
E
X
par
$(x) =:$(x) ~
i.
c.
et de
X
s.
X -~ Y
encore s.
numérique
des espaces
est
~° Si $ :
est
X ~ alors
sur
ordinaire.
Quelques propriété s
=
Y
i.
4° Soit
~
un
tout
sera
est ouverte.
3° Une fonction univoque est
x
il existe
Y
Exemples de telles applications.
1~ Soit
.
~(x~
que
dans
un
espace
Y
dans
par
topologique, 4S
Z
et
W
des
applications
respectivement. Alors 03A8 o ~ ;
X .~
s.
c.
i. de
Z , définie
X
pour
est
encore s. c.
canonique de Y
est l’injection
si 03A8
application
s.
i. de X
c.
est ouvert dans
y
Z ,
x
dans
est de
Z , 03A6 peut
si le
graphe ouvert,
est alors
et 03A8
un
sous-espace de
être considérée
Z
et
comme
Z.
dans
Y ~ Z
4° On dira
s’identifie à
Y
si
particulier,
i. En
i. Si
s. c.
en
graphe de V
outre 03A6 : X
dans y x Z
~ Y
est
.
s.
i.,
c.
alors
graphe
est de
ouvert.
X
V
~ X ),
x
est
s* c
une
Si ? est de gra-
W(x) ~03C6
(c’est-à-dire
alors
i.
Applications. $
Y .
dans
5° Soient ~ ,? , des applications s. c. i. de
phe ouvert et si 03A6 ~ 03A8 est une application multivoque
Soient
application
c.
s.
(Y, u)
X
i. de
un
espace
dans
X
uniforme,
Y. Si
V
est
topologique,
entourage ouvert de u ,
un
un
espace
alors
est
s. c.
i. de
graphe ouvert.
est s. c. i. degraphe ouvert.
Réciproquement,
alors
Voici
est
un
entourage ouvert V
si pour tout
s. c.
Cela résulte du fait que
l’application y -~ V (y~
V03A6
de
est
s.
c.
i.,
’
i.
lemme utile dans le s
problèmes
de sélections :
1. - Soit (Y, U) un espace unif orme séparé, et soit F un sous-espace
&
vide de Y , complet. donc fermé dans Y .. On considère le filtre 9 qui
LEMME
non
Pour
base les ensembles
V(F) ~.
V
parcourt U .
Tout filtre de Caucbv . G. sur Y , plus
fin
que F ,
converge
vers un point
de
F .
Démonstration. - Soit 8 0
admet
une
trace
sur
4. Deux techni ues
A. - Soient X
F,
our
un
le filtre de
Cauchy minimal associé à ~ .
Alors 8~
le résultat.
obtenir des sélections continues.
espace
topologique,
(Y, d)
un
espace
métrique, $
une
application multivoque
X
de
(x)
V
telle que
Y
dans
complet
est
Y.
dans
V
On pose
=
d-1«(Q ,l() ;
PROPOSITION 1. - Soit
f
-
un
n
entourage ouvert
~Y ~ d)
de
X
suite d ’ applications c ontinue s de
une
....
-
.-
n
est
V
n
n
-
-
Y
dans
-
"
..
-
d
telle que
1°
est
fn
2° Pour tout
Dans
-
continue
f
n ~
est
---
---
f
---
-
-
.
X
de
sélection continue de
une
f
..°.....-
- . - -
et
dans Y ~
converge
-"
n
simplement
te
fonction
vers une
.
est
f
Démonstration. -. A l’ aide du lemme
verge
Vn.
n
conditions la suite
ces
.--’-- .
suite de Cauchy pour la convergence uniforme 9
une
-
..
une
uniformément
-
’
-vers une
.
°
°°
°
°°
application
on
"
’
°
.°
’
V .
sélection continue de
précédent,
f 9
..
montre que la suite
fn
con-
et celle.-ci est limite uniforme de la sui-
f .
n
B. - Soient
X
touj ours
un
espace
f :
X ~ Y
topologique
~Y 9 d)
et
espace métri-
un
que.
DEFINITION. - On dira
il existe
un voisinage
LEMME 2. z°
Soit
est
fn
f
une
que
de
w
tel
x
est
8-continue si.
suite de Cauchy pour la
2° Pour tout
et
e >
tout
x E
X ’
ue
dans Y telle que :
convergence uniforme ;
suite d applications
une
pour
0,
X
de
il existe
tel que
n
fn,
soit
~-
continue.
Si la suite
f
n
converge
simplement
vers une
fonction
f,
alors
f
est con-
tinue.
Soit maintenant ~
tout
~~x)
x
une
soit
application multivoque de li dans Y telle que, pour
complet. on peut alors améliorer la propDsition précé-
dente :
PROPOSITION 2. - Soit
1°
fn
est
une
2° Pour tout
n
Dans
t inue
ces
f
f
une
suite de Cauchy pour la c onvergence
n ,
f
est
une
n
sélection de
V
Y
telle que :
est
~n-continue
n
dans
uniforme ;
et
03A6 , -
n
f
n
-
~ C~ .
conditions, la suite
de
suite d applications de X
W .
f
converge
uniformément
vers une
sélection
con-
Revenons
au
problème
des sélections continues. Le lemme suivant montre la néces-
sité d’utiliser des applications multivoques
Soient
X
tivoque de
X
U
telle que
f(x )
de
et
x
deux espaces
pour
X un espace
tout
est
topologiques, 03A6
et
x
s.
i.
c.
sélection continue
une
yo , alors 03A6
=
5 . Caractérisation des
Soit
Y
Y . Si,
dans
voisinage
et
s.
y0
~
application mul-
une
03A6(yo) ,
il existe
définie dans
f
un
U ~ et
i.
c.
espaces paracompacts.
dont tout
topologique
est fermé.
point
PROPOSITION 3. - Les conditions suivantes sont équivalentes :
(1)
(2)
X
est paracompact.
Pour tout espace de Banach
Y , telle que $(x)
continua
soit
La démonstration de
Soit
existe
convexe
définie
f
(1)
V
(2)
U
forment
U
j
un
mille localement finie. Pour
soit contenu dans
U
o
~i
continue,
car
f(x)e ~(x) + V ,
puisque
S
Pi
c U 9
~i
sur
repose
xeX .
c. i. ~
de
X
il existe
une
sélection
pour tout
x
e x ,
0
dans
Y . Il
l’ouvert
subordonnée,
chaque
supports
pour tout
d’autre
est fermé.
le lemme suivant.
i
~
X ~
les
1~
et il existe
supports des
soit
y.
des
xeX .
part,
p.
forment
une
p.
tel que le
On pose
les
(x)
dans
V .
+
nie~
b.
entier ;
recouvrement de
lui est
qp.i
tout
s.
voisinage ouvert symétrique convexe de
soit
l’unité (pi)i~I
est
fermé pour tout
sélection continue de
une
les ouverts
f
et toute application
X
sur
==>
un
Pour tout
a.
Y
une
partition
formant
support
de
une
fa-
de
p.
famille localement fi-
ou encore
puisque
p. sont %
les
Ce lemme étant
démontré,
par récurrence
V
n
tisf ait
aux
0
et
soit
posant
en
+
convexe.
la boule
Vn+1 = 1 2n Vn .
unité (ouverte)
On construit
satisfaisant à
ces
possible 9 supposons
n
conditions pour
Par
sélection continue
on
Y . On définit
suite
une
que l’on ait
f **
qui
sa-
f r
de
déjà défini
des
f
n
k ; posons
est
x
Enfin
de
conditions suivantes :
Une telle construction est
une
V1
V
(î~ V ~ ~ ~
+
s.
c.
i. ; il
existe alors
et l’on a, pour tout
x
remarque que
et que la suite
fonction f
=
une
n
lim f
Démonstration de
1 et 1’ pour
est
f
suite de
est alors
une
Cauchy pour
la
convergence uniforme ;
sélection continue de
n
(2)
~
( 1 ) ..-
Nous admettrons
l’équivalence
des
topologique.
1. X est paracompact ;
~~. Tout point de X est fermée et pour tout recouvrement ouvert
il existe une partition continue do l’unité subordonnée
un
la
propriétés
espace
U
de
X ~
c ’ est-à-
dire
V
telle que
1
U~ U
Nous
vert de
(si
elle
X ~ et soit
existe) . Pour chaque
U
dans
globalement,
(2)
l’ Soit
===>
pour tout
U
un
recouvrement
ou-
subordonnée à
la famille de nombres réels
partition
une
x
continue de l’unité
c’est-à-dire
élément
comme un
t).
applica-
comme une
satisfaisant à la condition
R
pouvons considérer la famille
dans ~ (tL) .
X
de
nous
et,
=L .
pTï(x)
peut être considérée
tion de
=0
et
U= U
ramènerons à démontrer que
nous
numériques continues % 0 ,
famille de fonctions
une
Traduisons dans
ce
langage
comme une
les conditions
application
imposées
f
à la fa-
mille
1°
doit être continue
f
la
norme
2° Pour tout
usuelle : si
Pour tout
V
x
.
on
et que
puisque l1 (U)
est
ce
on
pourra faire
grâce
par
défini par
c
est
un
~~
Il est clair que
doit avoir
un
On est ainsi ramené à trouver
~ 9
~(x)
~(x~
topologie définie
& (~) ~
y ~
soit
x
de la
lorsqu’on
ensemble
fermé,
convexe
donc
complet,
espace de Banach.
une
au
sélection continue de l’application multivoque
lemme suivant 1
IEMME 5. - L’application multivoque 03A6
de X
l1+(u)
dans
définie précédem-
ment. e st semi-continue inf érieurement.
Démonstration. - Soit E
tels que
posons
y(U) = 0 ,
le sous-espace vectoriel
sauf pour
un
de l1 (U)
nombre fini d’ouverts
U
e
(U)
formé des
Pour tout
x
1-08
Lorsqu’on
munit
ment que
~ ~
topologie induite par celle de
considérée comme application multivoque de
E
et comme pour tout
il
en
voit facile-
on
de la
X
dans
E
est
s.
x ~ X
résulte que ~
elle-même est
s.
c.
i. ~
ce
qui
termine la démonstration.
c. i. ,