Les différents ensembles de nombres

Préparation accélérée CRPE
Mathématiques
Les différents ensembles de nombres
Corrigés des exercices et synthèse de cours
Exercice 1
1.
12 13
9
;
; 3,14 ; 125 ; 0 sont des nombres rationnels décimaux.
5
52
Un nombre décimal a deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie.
22
2
12
;
et
sont des rationnels non décimaux.
7
3
11
Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est
infinie et périodique.
π et 5 sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Ils ont
une écriture à virgule infinie et non périodique.
2.
a) VRAI.
Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Comme un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme
d'une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10, c’est donc bien un nombre rationnel.
Ou bien
n
p
Un nombre décimal s'écrit sous forme d'une fraction irréductible dont le dénominateur s'écrit sous la forme 2 × 5
(avec n et p entiers).
Ou encore
Un nombre décimal peut s’écrire avec une écriture à virgule dont le nombre de chiffres après la virgule est fini ; il
suffit alors de multiplier ce nombre par une puissance de 10 suffisamment grande (et de diviser par cette même
puissance de 10) pour obtenir ce nombre sous forme d’une écriture fractionnaire.
Remarque :
Il ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l’affirmation est vraie.
b) FAUX
Remarque : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse
1
3 est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal
1
n
p
(3 est une fraction irréductible dont le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme 2 × 5 (avec n et p entiers) ou bien
1
1
l’écriture décimale de 3 est illimitée : ). 3 =0,333…
c) Faux
La notion « consécutif » qui suppose qu’aucun autre nombre n’est situé entre des nombres dits « consécutifs » n’a
pas de sens avec les nombres décimaux. Il y a une infinité de nombres décimaux entre 21,36 et 21,37 (par
exemple 21, 364 est un décimal compris entre 21,36 et 21,37).
22
au centième près d’un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie
7
22
décimale composée de 2 chiffres maximum. En utilisant une calculatrice,
≈ 3,142857. Sa valeur arrondie au
7
centième près est donc 3,14.
22
La valeur approchée par excès au dixième près de
est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant un
7
22
chiffre après la virgule. C’est 3,2. La valeur approchée par défaut au millième près de
est le nombre décimal
7
inférieur le plus proche ayant trois chiffres après la virgule. C’est 3,142.
3. La valeur arrondie de
Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier
Septembre 2010
1
2
La valeur arrondie de 3 au centième près est 0,67.
2
2
La valeur approchée au dixième près de 3 par excès est 0,7. La valeur approchée au millième près de 3 par défaut
est 0,666.
12
12
≈ 1,090909. La valeur arrondie de
au centième près est 1,09.
11
11
12
La valeur approchée au dixième près par excès de
est 1,1. La valeur approchée au millième près par défaut de
11
12
est 1,09.
11
En utilisant une calculatrice,
En utilisant une calculatrice π ≈ 3,1415927 La valeur arrondie de π au centième près est 3,14.
La valeur approchée de π par excès au dixième près est 3,2.
La valeur approchée de π par défaut au millième près est 3,141.
En utilisant une calculatrice 5 ≈ 2,2360679. La valeur arrondie de
La valeur approchée par excès de 5 au dixième près est 2,3.
La valeur approchée par défaut de 5 au millième près est 2,236.
5 au centième près est 2,24.
22
22
-2
à 10 près : 3,14 <
< 3,15
7
7
2
2
-2
Encadrement de
à 10 près : 0,66 <
< 0,67
3
3
12
12
-2
Encadrement de
à 10 près : 1,09 <
< 1,1
11
11
-2
Encadrement de π à 10 près : 3,14 < π < 3,15
-2
Encadrement de 5 à 10 près : 2,23 < 5 < 2,24
4. Encadrement de
5. Ces nombres sont 18,45 ; 18,46 ; 18,47 ; 18,48 ; 18,49 ; 18, 51 ; 18, 52 ; 18,53 ; 18, 54.
Exercice 2
r =2,370370…
D’où 1000x r = 2370,370…….
1000x r – r = 2370 – 2 (car les parties décimales de 1000xr et r sont les mêmes).
2368
999x r = 2368 d’où r = 999
Recherche de l’écriture fractionnaire irréductible :
3
999 =111x9 = 111x3² = = 3x37x 3² =37x3
2368 n’est pas divisible par 3 puisque la somme de ses chiffres, 19, ne l’est pas divisible par 3) mais est divisible
par 37.
64
37x 2 6
26
6
2368 = 37x 64 = 37x2 ainsi r =
=
=
3
3
27
37x3
3
Exercice 3
1. Le point peut être remplacé par 8 et 9.
27, 488 et 27,498 sont compris entre 27, 48 et 27,5.
Pour les obtenir, il était possible d’écrire tous les nombres compris entre 27,48 et 27,5 dont la partie décimale
comporte trois chiffres.
2. Voici des nombres écrits avec 5 des chiffres 0, 1, 4, 5, 8, 9 et compris entre 18 et 19 :
18,045 ; 18,049 ; 18,054 ; 18,059 ; 18,094 ; 18,095 ;
18,405 ; 18,409 ; 18,459 ; 18,495
18,504 ; 18, 509 ; 18,549 ; 18,594
18,904 ; 18,905 ; 18,945 ; 18,954.
On pouvait en choisir 8 parmi ces derniers dont les quatre premiers qui sont plus proches de 18 que de 19.
Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier
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2
Exercice 4
1. Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s’écrivent avec deux chiffres après la virgule.
On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée :
___________________________________________________________
0
0,01
0,02
0,03
0,04 0,05
0,06
0,07
0,08 0,09
0,1
Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment compris entre deux
graduations successives et en agrandissant l’échelle pour le partager en 10 parties égales.
Par exemple, si on procède de cette manière avec l’intervalle [0 ; 0,01], le segment d’extrémité 0 et 0,01 de
1
1
longueur
sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit
.
100
1000
Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui s’écrivent avec 3
chiffres après la virgule 0,001 ; 0,002 ; …. ; 0,009. Il y en a 9.
On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 ; 0,02] ; ….. ; [0,09 ; 0 ;1].
Il y a donc 90 nombres ayant 3 chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1. Si on considère que les nombres
0,01….0,09 peuvent s’écrire 0,010…..0,090, il y a 99 nombres à trois chiffres dans cet intervalle.
2. Il n’est pas possible d’écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une infinité d’autres.
Exercice 5
5
1
5
2
7
5 25
5
A = 8 + 0,25 = 8 +100 =
+
=
+
=
8
4
8
8
8
7
est irréductible.
8
7x 25
15
175
15
20
175
15
20 + 175 + 15 210
2 7
2
2
B = 10 + 4 + 0,15 = 10 +
+
=
+
+
=
+
+
=
=
4 X 25
100 10 100 100
100
100
100
100
100
21
=
10
21
21 et 10 sont des nombres premiers entre eux donc
est irréductible.
10
7 et 8 sont des nombres premiers entre eux et donc
Exercice 6
364
2 2 x 7x13 2 2
4
4
=
=
=
.
est irréductible et son dénominateur ne s’écrit pas sous la forme d’un produit
1001
7x11x13
11 11 11
de puissances de 2 et/ou de 5. Ce n’est donc pas un nombre décimal.
384
2 7 x3
Il en est de même de :
= 2
275 5 x11
1.
364
384
4
100
384
484
44x11 44
4x 5 2
2 7 x3
2 7 x3
+
=
+ 2
=
+
=
+ 2
= 2
= 2
=
.
2
2
1001 275
11 5 x11 11x5 2
5 x11
11x5
5 x11 5 x11 5 x11 5 2
Cette fraction est irréductible et son dénominateur s’écrit sous la forme d’un produit de puissances de 2 et/ou de 5.
C’est donc un nombre décimal.
2.
La somme de deux nombres rationnels non décimaux peut être un nombre décimal.
La somme d’un nombre rationnel non décimal et d’un nombre décimal est toujours un nombre rationnel non
décimal.
Exercice 7
1.
29
désigne un nombre décimal si on peut la transformer en écriture fractionnaire irréductible dont le dénominateur
55
s’écrit sous la forme d’un produit de puissances de 2 et/ou de 5.
55 = 5 x11 or ni 11, ni 5 ne divisent 29.
29
est donc irréductible.
55
55 ne s’écrit pas sous la forme d’un produit de puissances de 2 et/ou de 5.
29
ne désigne donc pas un nombre décimal.
L’écriture fractionnaire
55
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3
39 3 X13 13
75 = 3 X 25 = 25
13
est donc irréductible.
25
13 13
13
= 2 . Le dénominateur est une puissance de 5.
est un nombre décimal.
25 5
25
39
L’écriture fractionnaire 75 désigne donc un nombre décimal.
2.
29
39 13
Pour comparer ces deux nombres, on peut réduire les fractions
et 75 =
au même dénominateur. Le
55
25
dénominateur commun à ces deux fractions est 55x5 = 11x25 = 275.
29 5x 29 145
39 13 13x11 143
=
=
et 75 =
=
=
55
275
275
25
275
275
145 145
29 39
Comme 145 > 143,
>
et donc
> .
275 275
55 75
52
39 13 4 X13
3. 75 =
=
=
= 0,52
25 4 X 25
100
29
est un nombre rationnel non décimal dont l’écriture à virgule est infinie périodique : 0,527272….
55
29
39
0,525 est un nombre décimal inférieur à 0,527272… et supérieur à 0,52. Il est donc compris entre 75 et
55
13 et 25 sont premiers entre eux,
29
39
4. La moyenne arithmétique des deux nombres 75 et
n’est pas un nombre décimal (car l’un des deux
55
nombres n’est pas un nombre décimal) et elle est nécessairement comprise entre ces deux nombres 7539 5529
Cette moyenne est égale à :
39 29
143 145
+
+
75 55
275 275 143 + 145 288 144
=
=
=
=
2
2
2X 275
550 275
144
29
39
est un nombre rationnel non décimal compris entre 75 et
.
275
55
Exercice 8
Il suffit de commencer la division effective de 12 par 13, on trouve 0,9230769… À partir du moment où l’on trouve
comme reste un reste déjà apparu (ici le 12), on retrouve la suite de restes (ici 12, 3, 4, 1, 10, 9), et la suite des
chiffres du quotient correspondant sera répétée (ici 9, 2, 3, 0, 7, 6).
Ici, par exemple, le 9 se trouve être le premier chiffre après la virgule, le septième, le treizième, le dix-neuvième,
etc. (de 6 en 6). De même, le 2 est le deuxième chiffre après la virgule, le huitième, le quatorzième, le vingtième
etc. (de 6 en 6). Et ainsi de suite.
Pour déterminer la nième décimale de 1213, il suffit donc de connaître le reste dans la division euclidienne de n par
6. On a : 1348 = 6 × 224 + 4 et 5428 = 6 × 904 + 4, donc, dans la division euclidienne par 6, 1348 et 5428 ont le
même reste (4). On en déduit que la 1348ième décimale et la 5428ième décimale du nombre sont les mêmes (il s’agit
du chiffre « 0 »).
Exercice 9
Procédure algébrique :
Soit x l’effectif total de l’entreprise. L’effectif total est égal à la somme des effectifs de chaque catégorie de
personnel :
x
.
L’effectif des cadres est égal à
60
L’effectif des techniciens est égal à
x
.
12
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4
x
x
) comprend les ouvriers et les employés.
60 12
25
25
x
x
L’effectif des ouvriers correspond à
du reste soit à
(x ) et il reste 20 employés.
27
27
60 12
Le reste (x -
x
x 25
x
x
x
5x
25
x
5x
+
+
(x ) + 20 ⇔ x =
+
+
(x ) +20
60
12 27
60 12
60
60 27
60 60)
En multipliant les deux membres de l’égalité par 60 et 27 soit par 1620, on obtient l’égalité suivante :
On a donc x =
1620x = 27x +135x + 25 (60x – x – 5x) + 32400 ⇔ 1620x = 27x +135x + 1500x – 25x – 125x + 32 400
⇔ 1620x – 27x -135x -1500x +25x +125x = 32 400 ⇔ 108x= 32400 ⇔ x = 300
L’entreprise compte 300 personnes.
Autre procédure
Les ouvriers et les employés représentent la fraction 1-(
= 1-
1
1
1
5
6
+
) de l’effectif total soit 1-(
+
) = 160 12
60 60
60
1
9
=
de l’effectif total.
10 10
Les ouvriers représentent les
25
2
de ce reste et les employés représentent les
de ce reste, soit
27
27
2
9
x
de
27 10
1
de l’effectif total. Comme il y a 20 employés, l’entreprise compte 15 fois plus de
15
personnes soit 15x20 = 300.
l’effectif total, c’est –à-dire
Synthèse
L’ensemble des nombres entiers naturels :
N = {0, 1, 2, 3,......}
C’est un ensemble infini : après un nombre quelconque, on peut toujours en trouver au moins un autre : tout
nombre entier naturel a un successeur.
C’est un ensemble discret : les nombres entiers naturels ne permettent que de graduer une demi-droite et entre
deux graduations successives, il n’en existe pas d’autre qui puisse représenter un nombre entier.
Dans cet ensemble, il existe des équations qui n’ont pas de solution : par exemple 4 + ? = 2 n’a pas de solution
dans N. Plus généralement, l’équation a + ? = b avec a > b n’a pas de solution.
L’ensemble Z des entiers relatifs
Z complète l’ensemble des entiers naturels : il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés :
Z = {...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.....}
N⊂Z
Ces nombres ne sont étudiés qu’au collège. Ils sont utilisés dans différents contextes.
Ils permettent de graduer la droite de manière plus complète que les nombres entiers naturels, mais l’ensemble Z
est un ensemble discret : entre deux graduations successives représentant deux nombres relatifs, il n’en existe pas
d’autre qui puisse représenter un nombre entier relatif.
Dans cet ensemble, l’équation a + ? = b a toujours une solution même si a > b, mais certaines équations comme
2 x ? = 5 n’a pas de solution dans Z.
L’ensemble Q des nombres rationnels
Cet ensemble est composé des nombres solutions d’équations du type a x ? = b avec a et b entiers relatifs et b ≠
a
0 . C’est donc l’ensemble des nombres écrits sous forme de fractions
(b ≠ 0). Ce sont des nombres qui sont
b
quotients de deux entiers relatifs.
N⊂Z⊂Q
Entre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre ; autrement dit, l’intervalle [q1 , q2] où q1 et q2
sont deux nombres rationnels comporte une infinité de nombres.
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5
3
4
7
3 4
et 7 , on peut placer le nombre 14 : l’amplitude de l’intervalle [7 ,7 ] est égale
7
4 3 1
1
3
3
1
7
à 7 - 7 = . Le milieu de l’intervalle est situé à 14 de 7 , c’est le nombre 7 + 14 soit 14 .
7
Parmi les nombres rationnels, il en existe des particuliers : les nombres décimaux que l’on désigne par la lettre D.
On peut approcher un nombre rationnel par un nombre décimal avec une précision aussi grande que l’on veut.
Les nombres décimaux permettent de graduer la droite numérique de manière plus fine que les nombres entiers
relatifs mais moins fine que les nombres rationnels.
N⊂Z⊂D⊂Q
Les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent
pas. Il existe encore de nombreux trous : π et 5 ne sont pas des nombres rationnels mais ils désignent une
graduation de la droite numérique. Ce sont des nombres irrationnels
Par exemple, entre les nombres
L’ensemble R des nombres réels:
L’ensemble R des nombres réels est la réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de celui des nombres
irrationnels
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
L’ensemble des nombres réels remplit la droite : il est continu.
Tout nombre réel peut être approché d’aussi près que l’on veut par un nombre décimal.
Un ordinateur aussi puissant qu’il soit ne gère des calculs que sur des valeurs approchées de nombres réels.
L’ensemble des nombres décimaux est dense dans l’ensemble des nombres réels : entre deux nombres réels, on
peut trouver une infinité de nombres décimaux.
Les différentes écritures des nombres :
Un nombre rationnel a deux écritures :
- une écriture fractionnaire,
- une écriture décimale ou à virgule.
Un nombre rationnel décimal a une écriture décimale ou à virgule finie.
Un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale ou à virgule infinie et périodique.
Un nombre décimal est un nombre rationnel particulier.
Il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une
25
puissance de dix, par exemple 100 .
Il peut aussi s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible dont le dénominateur s’écrit sous la forme d’un produit
de puissances de 2 et/ou de 5.
77
Par exemple, 22 n’est pas une fraction irréductible mais si on divise le numérateur et le dénominateur par 11, on
7
trouve une fraction irréductible 2 qui lui est égale et qui est un nombre décimal.
33
33
=
est un nombre décimal.
20
2² x 5
.
Attention :
Il faut être prudent : en effet, une calculatrice ou un ordinateur aussi puissants soient ils ne donnent qu’une
approximation d’un nombre rationnel non décimal, si bien que la plupart du temps, il est impossible de caractériser
un nombre à l’aide de son écriture à virgule. Il est alors préférable d’utiliser les écritures fractionnaires pour
déterminer si un nombre est rationnel décimal ou non.
Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique
Valeur arrondie
La valeur arrondie à 10
−n
(
1
) d’un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale
10n
composée de n chiffres maximum.
Cas particulier où la décimale à supprimer est un 5 : la valeur arrondie au dixième de 17,25 est 17,3.
Valeur approchée par défaut, par excès
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6
−n
La valeur approchée à 10 par défaut d’un nombre réel est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant une
partie décimale composée de n chiffres maximum.
−n
La valeur approchée à 10 par excès d’un nombre réel est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant une
partie décimale composée de n chiffres maximum.
Encadrement
Encadrer à 10
−n
un nombre réel r consiste à déterminer deux nombres décimaux, l’un inférieur à r et l’autre
supérieur à r tels que leur différence soit égale à 10
Exemple : Un encadrement à 10
-3
de
−n
5 est 2,236< 5 <2,237, car 2,237 – 2,236 = 0,001= 10
-3
.
Comparaison des nombres décimaux
Les relations “ inférieur ou égal à ” ( ≤ ) ; “ supérieur ou égal à ” ( ≥ ) ; “ inférieur à ” (<) ; “ supérieur à ” (>) sont des
relations d’ordre.
Dans N, tout nombre a un successeur et un prédécesseur (sauf 0). Ce n’est plus vrai dans D, Q et R.
Exemples : dans N, 3 a un successeur à savoir 4. Dans D, 3 n’a pas de successeur. Ce n’est pas 4
puisqu’il y une infinité de nombres décimaux entre 3 et 4 (3,1 ; 3,01 ; 3,001....).
Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un décimal : ainsi entre 3,1 et 3,2, on peut intercaler 3,11.
Entre deux entiers, on ne peut pas toujours intercaler un entier. Ainsi, entre 3 et 4, on ne peut pas intercaler
d’entier.
Pour comparer des nombres décimaux, on compare leur partie entière. Si les parties entières sont les mêmes, on
compare les parties décimales de même rang.
245,268 est plus petit que 245,69 parce que 2 dixièmes est plus petit que 6 dixièmes.
Les nombres entiers ne permettent pas de graduer la droite numérique : entre deux graduations successives, il
n’en existe pas d’autres qui puissent représenter un nombre entier. Les nombres décimaux et plus généralement,
les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent
pas. L’ensemble des nombres réels remplit la droite : à tout point de la droite on peut associer un nombre réel et
un seul et réciproquement.
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7