Exercice E1 - XMaths

Exercice E1
1. On sait que le corps A est apparu le jour J0 et que la période d’apparition de A est de 105 jours.
A apparaît donc aux dates J0 + 105x où x est un nombre entier.
On sait que le corps B est apparu le jour J0 + 6 et que la période d’apparition de B est de 81 jours.
B apparaît donc aux dates J0 + 6 + 81y où y est un nombre entier.
Pour qu’il y ait apparition simultanée de A et de B, il faut et il suffit que J0 + 105x = J0 + 6 + 81y ,
c’est-à-dire : 105x − 81y = 6 ou, après simplification par 3 : 35x − 27y = 2.
u et v étant le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0 et J1 ,
le couple (u; v) est solution de l’équation (E1 ) : 35x − 27y = 2 .
2. (a) En utilisant l’algorithme d’Euclide avec les nombres 35 et 27, on peut écrire :
35 = 27 × 1 + 8 ; 27 = 8 × 3 + 3 ; 8 = 3 × 2 + 2 ; 3 = 2 × 1 + 1
On en déduit successivement que :
1 = 3 − 2 = 3 − (8 − 3 × 2) = 3 × 3 − 8 = (27 − 8 × 3) × 3 − 8 = 27 × 3 − 8 × 10 = 27 × 3 − (35 − 27) × 10
donc : 1 = 27 × 13 − 35 × 10 = 35 × (−10) − 27 × (−13)
(x0 ; y0 ) = (−10; −13) est un couple d’entiers relatifs, solution de l’équation (E2 ) :
35x − 27y = 1 .
(b) D’après la question précédente on a : 35 × (−10) − 27 × (−13) = 1 ,
on en déduit, en multipliant par 2 que : 35 × (−20) − 27 × (−26) = 2 .
(u0 ; v0 ) = (−20; −26) est donc une solution particulière de l’équation (E1 ) :
35x − 27y = 2 .
(c) • Supposons que (x; y) est un couple d’entiers relatifs solution de (E1 ). On peut alors écrire :
35x − 27y = 2
⇔
35x − 27y = 35 × (−20) − 27 × (−26)
⇔
35(x + 20) = 27(y + 26)
x étant un entier relatif, 35 divise 35(x + 20), donc 35 divise 27(y + 26).
Le théorème de Bézout appliqué à l’égalité du 2.(a) justifie que 35 et 27 sont premiers entre eux.
Comme 35 divise 27(y + 26) et comme 35 est premier avec 27, le théorème de Gauss permet d’affirmer
que 35 divise (y + 26).
Donc y + 26 = 35k avec k ∈ Z, c’est-à-dire y = −26 + 35k avec k ∈ Z.
En reportant cette expression dans l’égalité 35(x + 20) = 27(y + 26), on obtient :
35(x + 20) = 27 × 35k, donc x + 20 = 27k, donc x = −20 + 27k.
On a donc démontré que si (x; y) est un couple d’entiers relatifs solution de (E1 ), on a :
x = −20 + 27k et y = −26 + 35k, avec k ∈ Z .
• Supposons que (x; y) est un couple d’entiers relatifs de la forme x = −20 + 27k ; y = −26 + 35k, k ∈ Z .
Alors : 35x − 27y = 35(−20 + 27k) − 27(−26 + 35k) = 35(−20) − 27(−26) = 2 .
Donc (x; y) est une solution de E1 .
L’ensemble des solutions de E1 est donc l’ensemble des couples (−20 + 27k; −26 + 35k), avec k ∈ Z .
(d) (u; v) est la solution de E1 pour laquelle u et v sont des entiers naturels les plus petits possibles.
On doit donc avoir −20 + 27k > 0 et −26 + 35k > 0 avec k le plus petit possible.
On obtient k = 1 et
(u; v) = (7; 9) .
3. (a) On sait J1 − J0 = 105u = 6 + 81v. On a 105u = 105 × 7 = 735
735 jours s’écouleront donc entre J0 et J1 .
(et 6 + 81v = 6 + 81 × 9 = 735)
(b) On peut écrire : 735 = 366 + 365 + 4.
Deux années (dont une bissextile) et quatre jours séparent donc J1 de J0 .
D’autre part 735 = 7 × 105. 105 semaines séparent donc J1 de J0 .
Sachant que le jour J0 est le mardi 7 décembre 1999, on en déduit que :
Le jour J1 est le mardi 11 décembre 2001 .
(c) Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, la prochaine conjonction des deux astres se produira pour la
valeur k = 2, c’est-à-dire x = −20 + 27 × 2 = 34 et y = −26 + 35 × 2 = 44 .
On obtient alors J2 − J0 = 105 × 34 = 3570.
Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, il devra attendre 3570 jours à partir de J 0 ou
2835 jours à partir de J1 .
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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