ARITHMETIQUE : EXERCICES Exercice 2 (Centres étrangers, goupe 1 – 1999) Le but de cet exercice est d’utiliser les solutions d’une équation à deux inconnues entières pour résoudre un problème dans l’espace. 1. a. Déterminer un couple (x0, y0) d’entiers relatifs solution de l’équation 48x + 35y = 1. (On pourra utiliser l’algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD de deux nombres.) b. Déduire de a. tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de cette équation. 2. L’espace étant rapporté à un repère orthonormal dont on donne le vecteur u de coordonnées (48 ; 35 ; 24) et le point A(- 11 ; 35 ; - 13). a. Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l’ensemble () des points M de l’espace, de coordonnées (x ; y ; z) tels que u .AM = 0. b. Soit (D) la droite intersection de () avec le plan d’équation z = 16. Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à l’intervalle [- 100 ; 100]. En déduire les coordonnées du point de (D), à coordonnées entières, situé le plus près de l’origine. Exercice 2 1. a. L’équation 48x + 35y = 1 admet au moins un couple d’entiers relatifs (x0 ; y0) solution car les nombres 48 et 35 sont premiers entre eux comme le montrent les divisions successives suivantes, le dernier reste non nul étant égal à 1. 48 35 1 13 48 35 1 13 35 13 2 9 48 35 1 13 35 13 2 9 48 8 35 11 - 1 13 9 1 4 13 2 9 3 - 1 35 3 13 8 1 9 4 2 1 Donc 48(- 8) + 3511 + 1. On en déduit qu’un couple (x0 ; y0) solution est le couple : (- 8 ; 11). b. Si (x ; y) est un couple d’entiers relatifs solution alors : 48x + 35y = 48(- 8) + 3511 48(x + 8) = 35(11 – y) 35 48(x 8) 48 35(11 - y) 35 x 8 48 11 - y Ce dernier système découle du théorème de Gauss, les entiers 35 et 48 étant premiers entre eux. Par conséquent, il existe un couple (k ; k’) d’entiers relatifs tel que : x = 35k – 8 et y = 11 – 48k’. Réciproquement, si (x ; y) = (35k – 8 ; 11 – 48k’) où (k ; k’) 2 alors, 48x + 35y = 1 48(35k – 8) + 35(11 – 48k’) = 1 4835(k – k’) = 0 k = k’. En conclusion, les couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions sont les couples (35k – 8 ; 11 – 48k) où k . 2. a. Le vecteur u (48 ; 35 ; 24) étant non nul l’ensemble des points M de l’espace tels que u . AM = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal u . L’expression analytique du produit scalaire permet d’écrire que : u . AM = 0 48(x + 11) + 35(y – 35) + 24(z + 13) = 0. Donc une équation cartésienne du plan () s’écrit : 48x + 35y + 24z – 385 = 0. b. Le plan d’équation z = 16 a pour vecteur normal k . Les vecteurs u et k ne sont pas colinéaires donc les deux plans sont sécants suivant une droite (D). M désignant un point de coordonnées (x ; y ; z), z 16 z 16 . M (D) 48x 35y 24z - 385 0 48x 35y 1 On recherche alors les points M de cette droite dont les coordonnées sont telles que : x = 35k – 8, y = 11 – 48k et z = 16, avec k en utilisant les résultats de la question 1. b. Il reste maintenant à déterminer les entiers relatifs k tels que : -100 ≤ 35k – 8 ≤ 100 et – 100 ≤ 11 – 48k ≤ 100 qui est encore équivalent à : 35(- 2) – 22 ≤ 35k ≤ 353 + 3 et 48(- 1) - 41 ≤ - 48k ≤ 482 + 15. Par conséquent les entiers relatifs k solutions sont : - 1, 0, 1 et 2. Ainsi, les points de (D) répondant à la question ont pour coordonnées respectives : (- 43 ; 59 ; 16), (- 8 ; 11 ; 16), (27 ; - 37 ; 16) et (62 ; - 85 ; 16). Et le point de (D) le plus proche de l’origine du repère est : le point de coordonnées (_ 8 ; 11 ; 16).