Correction BTS CGO Mathématiques Session 2010 EXERCICE 1 : (12 points) A. Loi binomiale 1° On a une série de 8 épreuves indépendantes, chacune de ces épreuve peut déboucher sur deux possibilités : ● un succès : " L'entreprise n'emploie aucun salarié" de probabilité = ଼ ଵ = 0,87 ● un échec : " L'entreprise emploie au moins un salarié" de probabilité = ݍ1 − = 0,13 donc ܺ suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,87. 2° ܲሺܺ = 8ሻ = × ଼଼ܥ0,87଼ × 0,13 = 1 × 0,87଼ × 1 ≈ 0,328 La probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328. 3° ܲሺܺ ≥ 7ሻ = ܲሺܺ = 7ሻ + ܲሺܺ = 8ሻ = × ଼ܥ0,87 × 0,13ଵ + × ଼଼ܥ0,87଼ × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : ܻ suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit ܶ la variable aléatoire définie par : ܶ = ܲሺ859,5 ≤ ܻ ≤ 890,5ሻ = ܲ ൬ ି଼ସ ଵ,ହ ; ܶ suit ܰሺ0 ; 1ሻ. 859,5 − 874 ܻ − 874 890,5 − 874 29 11 ≤ ≤ ൰ = ܲ ൬− ≤ܻ≤ ൰ 10,5 10,5 10,5 21 7 29 11 = Π ൬ ൰ − Π ൬− ൰ ≈ Πሺ1,57ሻ − Πሺ−1,38ሻ = Πሺ1,57ሻ − ൫1 − Πሺ1,38ሻ൯ = Πሺ1,57ሻ − 1 + Πሺ1,38ሻ 21 7 = 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86 2° Réponse A : 0,27 Justification (non demandée) : ܻ − 874 880,5 − 874 13 13 ܲሺܻ ≥ 880,5ሻ = ܲ ൬ ≥ ൰ = ܲ ൬ܶ ≥ ൰ = 1 − Π ൬ ൰ ≈ 1 − Πሺ0,62ሻ = 1 − 0,7324 10,5 10,5 21 21 = 0,2676 ≈ 0,27 C. Etude d'une suite 1° Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par 1 + ଶ ଵ = 1,2 Ainsi, la capacité mondiale prévue pour 2009 est : 120 791 × 1,2 = 144 949,2 MW La capacité mondiale prévue en 2010 est : 144 949,2 × 1,2 = 173 939,04 MW 2° aሻ La suite ሺݑ ሻ est une suite géométrique car on multiplie par 1,2 pour passer d'un terme au suivant. Autrement dit : on a pour tout entier naturel ݊ : ݑାଵ = 1,2ݑ bሻ ݑ = ݑ × ݍ = 120 791 × 1,2 3° aሻ 250 000 ሺ1,2ሻ ≥ 120 791 ଶହ ሻ൯ ln൫ሺ1,2 ≥ ln car ln est une fonction croissante ଵଶ ଽଵ lnሺ1,2ሻ ≥ ln ≥ మఱబ బబబ భమబ ళవభ ୪୬ ୪୬ሺଵ,ଶሻ 250 000 120 791 ≈ 3,99 car lnሺ1,2ሻ > 0 ଶହ Le plus petit entier vérifiant ሺ1,2ሻ ≥ ଵଶ ଽଵ est 4. bሻ ଶହ ݑ ≥ 250 000 équivaut à 120 791 × 1,2 ≥ 250 000 donc 1,2 ≥ ଵଶ ଽଵ Or, d'après la question aሻ cette inéquation admet pour solution ݊ ≥ 4. Ainsi à partir de l'année 2012 ሺ= 2008 + 4ሻ la capacité mondiale de production d'énergie éolienne dépassera 250 000 MW. EXERCICE 2 : ሺ8 pointsሻ A. Etude d'une fonction 1° aሻ On a ݂ሺݔሻ = 3 ݔ+ 14 − 12 lnሺ2ݔሻ ௨ᇱ On rappelle que ሺln ݑሻᇱ = ; ici lnሺ2ݔሻ est de la forme ln ݑavec = ݑ2 ݔet donc ݑᇱ = 2 ௨ ଶ La dérivée de lnሺ2ݔሻ est donc ଶ௫ On a donc : ݂′ሺݔሻ = 3 − 12 bሻ On a ݂′ሺݔሻ = 3 − ଵଶ ௫ = ଶ ଶ௫ ଷ௫ ௫ − ଵ = 3 − 12 ௫ = 3 − ଵଶ ௫ = ଵଶ ௫ ଷ௫ିଵଶ ௫ cሻ ݂′ሺݔሻ a le même signe que 3 ݔ− 12 car sur ሾ1 ; 13ሿ ݔest toujours strictement positif. Signe de 3 ݔ− 12 : on résout l'inéquation 3 ݔ− 12 ≥ 0 ; 3 ≥ ݔ12 ; ≥ ݔ Ainsi ݂′ሺݔሻ est négatif sur ሾ1 ; 4ሿ et ݂′ሺݔሻ est positif sur ሾ4 ; 13ሿ dሻ ଵଶ donc ݔ ଷ ≥ 4. 2° Voir annexe pour les constructions. On lit environ : 1,8 et 7,5. B. Calcul intégral ଷ 1° ܨሺݔሻ = ଶ ݔ² + 26 ݔ− 12 ݔlnሺ2ݔሻ Il s'agit de calculer ܨ′ሺݔሻ. ଶ ଵ 12 ݔlnሺ2ݔሻ est de la forme ݒݑavec = ݑ12 ݔet = ݒlnሺ2ݔሻ et donc ݑᇱ = 12 et ݒᇱ = ଶ௫ = ௫. 3 1 ܨ′ሺݔሻ = 2 ݔ+ 26 − ሺݑᇱ ݒ+ ݒݑ′ሻ = 3 ݔ+ 26 − ൬12 lnሺ2ݔሻ + 12 × ݔ൰ = 3 ݔ+ 26 − 12 lnሺ2ݔሻ − 12 2 ݔ = 3 ݔ+ 14 − 12 lnሺ2ݔሻ = ݂ሺݔሻ. Ainsi F est une primitive de ݂. ଵଷ ଷ ଵଷ ଶ 2° = ܫଵ ݂ሺݔሻ݀ = ݔሾܨሺݔሻሿଵଷ ଵ = ቂଶ ݔ+ 26 ݔ− 12 ݔlnሺ2ݔሻቃ ଵ 3 3 × 13ଶ + 26 × 13 − 12 × 13 lnሺ2 × 13ሻ − ൬ + 26 − 12 lnሺ2ሻ൰ 2 2 507 3 = + 338 − 156 lnሺ26ሻ − − 26 + 12 lnሺ2ሻ 2 2 = 564 − 156 lnሺ26ሻ + 12 lnሺ2ሻ = ଵ ଵଷ ଵ ଵ 3° ܸ = ଵଷିଵ ଵ ݂ሺݔሻ݀ = ݔଵଶ = ܫଵଶ ሺ564 − 156 lnሺ26ሻ + 12 lnሺ2ሻሻ = 47 − 13 lnሺ26ሻ + lnሺ2ሻ ܸ ≈ 5,3 D. Application de la partie A ሺRemarque : Il n'y a pas de partie Cሻ 1° aሻ D'après la question 1°dሻ de la partie A, la fonction ݂ admet son minimum pour = ݔ4. Ainsi, il faut fabriquer 400 objets pour que le coût moyen soit minimal. bሻ Ce coût moyen est alors de : ݂ሺ4ሻ = 26 − 12 ln 8 ≈ 1,05 euros. 2° D'après la question 2° de la partie A, les solutions de l'équation ݂ሺݔሻ = 4 sont environ 1,8 et 7,5. Ainsi, pour que l coût moyen soit inférieur ou égal à 4 euros il faut un nombre d'objets à fabriquer compris entre 180 et 750 ሺinclusሻ.