Examen

Licence de mathématiques
AN3
2010-2011
Examen
(15 décembre 2010, durée 2h)
Documents et calculatrices sont interdits
Questions de cours (2,5 points)
1) Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
2) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Donner la définition de « f est uniformément continue sur I ».
3) Soit E une partie de R. Donner la définition de « E est dense dans R ».
4) Donner le développement limité de (1 + x)1/3 à l’ordre 4 en 0. On écrira les coefficients
sous forme de fractions rationnelles irréductibles.
5) Donner le développement limité de ln(1 + x) à l’ordre 5 en 0.
Exercice 1. (2 points)
Dans cet exercice on utilisera la définition de la limite à gauche (avec les , ∃,...) (ou sa
caractérisation séquentielle, mais ce n’est plus simple ici).
Soit f une fonction croissante définie sur R. Montrer que, pour tout x ∈ R, f a une limite
à gauche en x.
Exercice 2. (2,5 points)
Dans cet exercice on utilisera uniquement la définition de la limite d’une fonction en
l’infini (avec les , ∃,...).
Soient f et g deux fonctions définies sur R. Supposons que f (x) tend vers le nombre réel
l lorsque x tend vers +∞, que g(x) tend vers le nombre réel l0 6= 0 lorsque x tend vers
+∞. Montrer qu’il existe M ∈ R tel que, pour tout x ≥ M , le quotient f (x)/g(x) est
défini. Montrer que le quotient f (x)/g(x) tend vers l/l0 lorsque x tend vers +∞.
Exercice 3. (3 points)
Donner le développement limité des deux fonctions suivantes aux points et ordres indiqués :
ln(1 + sin(x))
cos(x)
en 0 à l’ordre 4 et
x3/2
en 4 à l’ordre 3.
Exercice 4. (5 points)
On considère une fonction f définie sur R, de classe C 2 sur R, croissante sur ] − ∞, 0],
décroissante sur [2, +∞[ telle que f (0) = f (2) = 1, f (1) = −1.
1) Montrer que f s’annule au moins deux fois.
2) Montrer que f 0 s’annule au moins trois fois.
3) On suppose, de plus, que f a un maximum local en 0. Montrer que f 00 (0) ≤ 0 et que,
si f 00 ne s’annule pas sur R− , alors f tend vers −∞ en −∞.
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Exercice 5. (5 points)
Considérons G un sous-groupe additif de R c’est-à-dire une partie de R contenant 0 telle
que si x et y appartiennent à G alors x − y aussi.
1) Montrer que si
∀ δ > 0 ∃ y, x ∈ G t.q. 0 < y − x < δ
alors G est dense dans R (on pourra calquer la démonstration sur celle de la densité de Q
dans R ; mais attention les éléments de G ne sont pas forcément des nombres rationnels).
La négation de la phrase logique précédente est
∃ δ > 0 ∀ y, x ∈ G (0 < y − x ⇒ δ < y − x)
(1)
Dans toute la suite de l’exercice G est toujours un sous-groupe additif de R et on suppose
la condition (1) satisfaite. On désignera par δ un nombre strictement positif tel que
∀ y, x ∈ G (0 < y − x ⇒ δ < y − x)
(2)
et par E l’ensemble {x ∈ G / x > 0}.
2) Donner un exemple de sous-groupe de R pour lequel E est vide.
On suppose désormais que E n’est pas vide.
3) Justifier l’existence de m = inf E.
4) Soit (xn ) une suite d’éléments de E convergeant vers m. Écrire la définition de « (xn )
converge vers m ».
5) Écrire l’implication contraposée de (0 < y − x ⇒ δ < y − x).
6) Montrer que (xn ) est constante, égale à m, à partir d’un certain rang (utiliser la
propriété (2)). En déduire que m est le plus petit élément de E.
7) Montrer que E est l’ensemble des multiples entiers positifs de m.
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