Mathématiques 7 C Exercices Calcul vectoriel 2010/2011 maths.mr

Mathématiques 7e C
Exercices Calcul vectoriel
2010/2011
Exercice 1 :
ABCD est un quadrilatère, I ,J,K ,L les points tels que AI 
milieu de  AD .
2
1
AB ; J milieu de  BC ; CK  CD et L le
3
3
L’objectif de cet exercice est de démontrer que (JL) passe par le milieu Ω de  IK 
1. Ecrire I comme barycentre de A et B, K comme barycentre de C et D et évaluer I  K
2. Exprimer I  K en fonction de A , B , C et D , puis en fonction de J et L
3. Conclure.
Exercice 2 :
1. On considère un triangle ABC et un point M n’appartenant à aucun des trois côtés du triangle ni à
aucune des trois droites passant par un sommet et parallèle au côté opposé. Les droites (AM) et (BC) se
coupent alors en A’ distinct de B et C, (BM) et (CA) en B’ distinct de A et C , (CM) et (AB) en C’
distinct de A et B.
a) Soit α, β, γ trois réels tels que M soit le barycentre du système (A, α), (B, β) et (C, γ). Démontrer que
β+ γ ≠ 0
b) Soit A1le barycentre des points (B, β) et (C, γ). Démontrer que les points A1et A’ sont confondus et en
A 'B


déduire que

A 'C
c) Exprimer de même les quotients
B 'C
C'A
et
en fonction de α, β, γ
C'B
B'A
A 'B B'C C'A
En déduire le Théorème de Ceva


 1
A 'C B'A C'B
Exercice 3 :
Soit ABCD un quadrilatère, I, J, K, L les milieux des côtés  AB  ,  BC ,  CD  ,  DA  et soit U et V les
milieux de  AC  et  BD 
Montrer que les segments  IK  ,  JL  et  UV  ont même milieu
Exercice 4:
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. On considère A’ le milieu du segment  BC  et celui de
 AA ' .
1
1. Soit J le point tel que BJ  BC . Calculer AJ .
3
ˆ .
2. Calculer l’aire du triangle ABJ ? En déduire la valeur de sin BAJ
 
Exercice 5 :
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal (A ; i ; j ; k ) avec i  AB ,
j  AD et k  AE .
On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].
Déterminer les coordonnées des points I, K et M.
Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires dans un plan que l’on notera P. On donnera
une équation du plan P dans le repère choisi.
Montrer que le vecteur AG est un vecteur normal au plan P.
Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (AG) sont confondus en
un même point. On appellera T ce point.
Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon
et montrer que tous ses côtés ont même longueur.
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Exercice 6:
On construit un triangle ABC et Δ Une droite quelconque passant par A. Les sommets B et C se
projettent orthogonalement en B’ et C’ sur Δ. La perpendiculaire à (AC) en B’ et la perpendiculaire à
(AB) en C’ se coupent en I.
Montrer que (AI) est une hauteur du triangle.
Retrouver par un choix convenable de Δ que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Exercice 7:
ABCD un carré I,J ,K,L les milieux des côtés  AB ,  BC , CD et  DA  .  AJ  coupe  DI  en P et  BK 
en Q.  CL  coupe  DI  en S et  BK  en R.
On se propose de montrer que PQRS est un carré.
1° Montrer que AJ .DI  0 , après avoir exprimé AJ en fonction de AB et AC , puis DI en fonction de
DA et DB .
2° Établir que : PS.ID  AL. AD .
3° En déduire l’expression de PS en fonction du côté a du carré ABCD
4° Conclure et répondre à la question : « Exprimer l’aire du carré PQRS en fonction de l’aire du carré
ABCD »
Exercice 8:
Représenter les ensembles des points M du plan dans les cas suivants :
1° AB. MA  MB  0


2° MA.  MB  MC   0
3°  MA  MB  .  MA  MC   0
Exercice 9 :
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 3 et BC = 2.
On appelle H le projeté orthogonal de B sur (AC)
ˆ
1. Calculer la valeur de cos BAC


2. En déduire les distances AH et BH .
Exercice 10:
Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du
carré AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
1. Justifier que : CQ  PR = CQ   AR-AP 
2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaire.
Exercice 11:
Soit ABCDE un pentagone tel que BC  ED . Soit I et J les milieux respectifs des segments  AB  et
 AE  . Les diagonales (BD) et (CE) se coupent en L. Soit K le barycentre de (A ; 2), (B ; 1), (C ; 1), (D ;
1) et (E ; 1)
a. Démontrer que A,K et L sont alignés
1
b. Démontrer que LK  LA
3
c. En Déduire que K est le centre de gravité des triangles ABD et ACE. Que vient-on de démontrer à
propos des droites (AL), (CJ) et (DI) ?
Exercice 12:
Soit ABC un triangle, la bissectrice intérieure issue de A coupe le côté  BC  au point I. Les segments
 BC  ,  AC  et  AB  ont pour longueur respectives a, b et
Démontrer que
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c
IB c

IC b
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En déduire que le point I est le barycentre des points B et C affectés des coefficients que l’on
déterminera
Prouver que le centre O du cercle inscrit au triangle ABC est le barycentre des points (A ; a), (B ; b) et
(C ; c)
Exercice 13:
Soit ABCD un tétraèdre quelconque, on désigne par G1, G2, G3 et G4les centres de gravités respectifs des
triangles ABC, ABD, ACD et BCD. On note I,J,K,L,M et N les
milieux respectifs des arêtes  AB  ,  AC  ,  AD ,  BC  ,  BD  et  CD  . Soit G l’isobarycentre des
sommets du tétraèdre
Déterminer les coordonnées de tous les points définis, dans le repère ( A; AB, AC, AD )
3
En déduire que DG  DG1
4
Déterminer trois autres égalités vectorielles analogues.
Démontrer que le point G est le milieu des segments  IN  ,  JM  et  KL  .
Exercice 14:
Soit A, B, C et D les points de coordonnées respectives (1 ;1), (6 ;1), (3 ;4) et (6 ;5)
Déterminer les coordonnées du barycentre G du système {(A ; 1), (B ; 2), (C ; 1), (D ;1)}
Déterminer les coordonnées du centre de gravité G1 du triangle ABC et celles du milieu J de  BD  .
Démontrer que G1, G et J sont alignés
Déterminer les coordonnées du centre de gravité G2 du triangle BCD et celles du milieu I de  AB  .
Démontrer que G2, G et I sont alignés
Placer les points A, B, C, D, I , J, G1 et G2. En utilisant les alignements précédents construire le point G
Prouver que (G1G2) et (IJ) sont parallèles
Soit K le milieu du segment  IJ  . Démontrer que C, G et K sont alignés.
Exercice 15 :
ABCD un tétraèdre
1°- Démontrer que (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si : AC²  BD²  AD²  BC² (1)
2° Démontrer que : si dans un tétraèdre les arêtes (AB) et (CD) d’une part , les arêtes (BC) et (AD)
d’autre part sont orthogonales
3° Dans cette question on suppose réaliser les conditions de la question 2°.
a. Soit A’ le projeté orthogonal de A sur la face BCD, démontrer que A’ est l’orthocentre du triangle
BCD
b. Soit B’, C’, D’ les projetés orthogonaux respectifs des points B, C, D sur les faces opposées du
tétraèdre.
c. Démontrer que les droites (AA’), (BB’), (CC’) et (DD’) sont concourantes.
Exercice 16:
Soit le cube ABCDEFGH, l’espace est rapporté au repère orthonormé A, AB, AD, AE .On désigne par
I le milieu de  EF et K le centre de gravité du carré ADHE


1° a. Vérifier que BK=IG  IA
b. En déduire l’aire du triangle IGA puis calculer une mesure de l’angle AIG
2° Calculer le volume du tétraèdre ABIG et en déduire la distance du point B au plan AIG
Exercice 17 :
ABC un triangle d’orthocentre H et dont O est le centre du cercle circonscrit. A’,B’,C’ les milieux
respectifs des segments  BC ,  CA  ,  AB  , I, J, K sont les pieds des hauteurs issus respectivement de
A, B, C et P, Q, R sont les milieux respectifs des segments  AH  ,  BH  ,  CH 
1° Démontrer que OH  OA  OB  OC « relation d’Euler »
2° Soit S l’isobarycentre des points A, B, C, H
a. Montrer à l’aide de 1° que S est le milieu de  OH 
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1
OA , ainsi que les inégalités analogues
2
3° En déduire que A’, B’, C’, P, Q, R appartiennent au cercle Γ de centre S et de rayon la moitié du
rayon du cercle circonscrit au triangle ABC
4° Montrer que ce cercle Γ passe par I, J, K
« Γ est appelé le cercle d’Euler et les points P, Q, R sont également appelés les points d’Euler »
Exercice 24:
C et C ’ sont deux cercles de même centre  ,  et ’ sont deux demi-droites perpendiculaires
d’origine  ,  coupe C en A et C ’ en A’ , ’ coupe C en B et C' en B’, I est le milieu du
segment AB'  . Démontrer que: (  I)  (A’B)
b. Etablir que SP  SA 
Exercice 18 :
MNP est un triangle tel que: NP = 650 m. ; NM = 600 m. et M Nˆ P = 73°
a) Déterminer une valeur approchée à 10-2 m. près de MP
ˆ
b) Déterminer une valeur approchée à un degré près de chacun des angles: Pˆ et M
-2
c) Déterminer une valeur approchée à 10 m. près du rayon du cercle circonscrit au triangle MNP
d) Déterminer une valeur approchée à 10-2 m2. près de l’aire du triangle MNP
Exercice 19 :
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle AB = 8 cm. ; BC = 5 cm. ; AE = 3 cm
I est le milieu du segment AB
a) Donner six triangles rectangles dont HB soit l’hypoténuse
b) Déterminer la valeur exacte des longueurs HA et HC, puis calculer de deux façons différentes la
longueur HB
c) Déterminer la valeur exacte de la longueur HI
ˆ et HIB
ˆ
d) Déterminer une valeur approchée à 10-1 degré près de chacun des angles: IHB
Exercice 20:
1) ABC est un triangle rectangle en A, H est le pied de la hauteur issue de A


 2


a) En exprimant de deux façons le produit scalaire: BA . BC , montrer que: BA  BH .BC
Que peut-on en déduire pour les longueurs: BA ; BH et BC ?
b) Montrer que AB2  AH2  HB2 et que AH2  BH  HC
Que peut-on déduire pour les longueurs: AH ; BH et CH ?
Exercice 21:
ABC est un triangle rectangle en B. H est le projeté orthogonal de B sur (AC), AH = 1 et HC = 3.
Calculer la longueur: BH , puis les longueurs: AB et BC de deux façons différentes
Exercice 22 :
a) Déterminer une équation du cercle de diamètre AB (avec: A( - 5 ; 7 ) et B( 2 ; - 3 ) )
b) Déterminer une équation du cercle de centre ( 1 ; 3 ) et de rayon 5
c) Déterminer une équation du cercle de centre A( 2 ; - 1 ), qui passe par le point B( -1 ; 1 )
d) Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle A( 2 ; 6 )B( 3 ; - 1 )C( - 6 ; 2 )
Exercice 23 :
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A( - 5 ; - 2 ) et qui est
perpendiculaire à la direction du vecteur n ( - 1 ; - 2 )
2. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A( 3 ; 1 ) et qui est
perpendiculaire à la droite d: 5x - 3y + 7 = 0
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A( - 1 ; 1 ) et qui est
2
perpendiculaire à la droite d: y = - x  2
7
3. a) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points de P , qui sont équidistants des
points: A( - 1 ; 3 ) et B( 0 ; 1 )
b) Vérifier que la droite (AB), est perpendiculaire à l’ensemble obtenu au 3)a)
Pouvait-on prévoir géométriquement ce résultat?
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4. a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A sur la droite d
b) Déterminer la distance du point A à la droite d
2
A( 3,5 ; 0 ) ; d: y = x  2
3
A( - 1 ; 5 ) ; d: 2x - 3y +1 = 0
Exercice 24:
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite D’, parallèle à la droite D et passant par le point A
D: x + y = 0 ; A( 1 ; - 5 )
D: - x - 2y - 6 = 0 ; A( - 1 ; 1 )
2) On considère les droites D: 2x - y + 3 = 0 et D’: - 3x + 1,5y = 0
a) Montrer que les droites: D et D’ , sont parallèles
b) Déterminer l’ensemble d des points de P , équidistants des droites: D et D’ (deux méthodes)
c) Déterminer la distance entre les droites: D et D’. En déduire la distance entre les droites D et d
Exercice 25 :
1)a) Déterminer la distance du point A( - 1 ; 2 ) à la droite d: - x - 2y = 4
b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A sur la droite d
c) Vérifier le résultat du 1)a)
2) On considère les points A( 5 ; 2 ) ; B( 1 ; 5 ) et C( - 1 ; - 1 ) .
Déterminer la longueur de la hauteur issue de A dans le triangle ABC , puis calculer l’aire du triangle
ABC
3
3. a) Démontrer que la droite d : y =  x  10 est tangente au cercle de centre  (-1;-2) et de rayon 13
2
b) Déterminer une équation de l’autre tangente à C , qui est parallèle à d
4) Déterminer les équations des droites qui passent par le point A et qui sont tangentes au cercle de
centre  ( - 2 ; - 1 ) et de rayon 10
- A( 5 ; - 2 )
- A( 3 ; 0 )
Exercice 26 : Déterminer les positions relaives de la droite d et du cercle C de centre  ( - 2 ; - 1 ) de
rayon 10
1
5
d:y=  x
3
3
5
7
d:y=  x
4
4
d:y= -x+2
Exercice 27 : MNPQ est un parallélogramme. d est la perpendiculaire à (PM) en M et H est le projeté
orthogonal de N sur d. A et B sont deux points de d. Démontrer que AB  PQ  AB  MH .
Exercice 28 : ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 2 cm et BC = 3 cm. O est le milieu du
segment [BC].
1) Calculer CA  CB et OA  BC
2) I est le projeté orthogonal de B sur (AC). Calculer la longueur CI.
Exercice 29 : Produit scalaire et orthogonalité
1
1
ABCD est un carré. I et J sont des points tels que BI  BC et CJ  CD . On se propose de démontrer
3
3
que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires.
Montrer pour cela que AI  BJ  0 en utilisant le fait que AI  AB  BI et BJ  BC  CJ .
Conclure quant aux droites.
Exercice 30 : Étude d’une configuration
OIML est un parallélogramme indirect, OIJ et OKL sont deux triangles rectangles isocèles directs. On se
propose de démontrer que :
IK = JL, (IK)  (IL) et OM = JK et (OM)  (JK).
1) Démontrer que OJ , OK  OL, OI   .

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 

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
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

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
En déduire cos OL, OI en fonction de cos OJ , OK .
2) Démontrer que IK = JL et IK  JL  0 en utilisant le fait que IK  OK  OI et JL  OL  OJ .
3) De façon analogue, démontrer que OM = JK et (OM)  (JK).
Exercice 31 : Un calcul d’angle
ABCD est un carré tel que AB = 5. I est le milieu du segment [AD]. Calculer le produit scalaire IB  IC et
en déduire l’angle BIC .
ABC est un triangle d’orthocentre H. Démontrer que AB2  AC 2  HB2  HC 2 .
EFG est un triangle. O est le milieu de [EG], EO = 3, H est le projeté orthogonal de F sur (EG) et
OH = 2.
Calculer FE2 – FG2.
Exercice 32: ABCD est un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2. M est un point variable sur le côté [DC]
du rectangle. On pose DM = x. Les droites (AM) et (DB) se coupent en I. On désigne par S(x) la somme
des aires de triangles ABI et DIM.
1) Calculer S(0) et S (1).
2
2) Démontrer que la hauteur IJ du triangle ABI est égale à
.
1 x
x²  1
3) En déduire que : S(x) 
.
x 1
4) Pour quelle valeur de x, S(x) est-elle minimale ? Que vaut cette aire minimale ?
Exercice 33
ABCD est un rectangle de longueur L et de largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des
sommets B et D sur la diagonale (AC)
Calculer HK en fonction de L et l. (on pourra calculer CA  BD de deux façons)
Comment choisir L et l pour que AC = 2 HK ?
Exprimer alors l’aire du parallélogramme BHDK en fonction de l’aire du rectangle ABCD.
Exercice 34 : ABCD est un losange de sens direct et de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6
Calculer AB  AD et la distance AP où P est le projeté orthogonal de D sur la droite (AB).
Exercice 35 :
ABCD est un tétraèdre régulier de côté a, I est le milieu du côté  AB et J est le milieu du côté  CD
Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivant : AB  AC et AB  DA
Calculer et interpréter le produit scalaire AB  DC
Calculer et interpréter le produit scalaire AB  IJ
Exercice 36 : C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan
Le but de l’exercice est d’établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite d passant par A, coupant
le cercle C en deux points P et Q, le produit scalaire AP  AQ est constant
Soit P’ le point diamétralement opposé à P. Montrer que AP  AQ  AP  AP
2
2
Montrer que AP  AP  AO  r
Conclure.
Exercice 37 : Soit  un cercle de centre O et A, B et C trois points distincts de  . On note H le projeté
orthogonal de A sur la droite (BC), D l’intersection entre la droite (AH) et le cercle  et E le point du
cercle diamétralement opposé à A.
Montrer que AB  AD  AC  AD  AE  AH
Exercice 38 : À partir de deux points, sur la côte [AB], on vise deux îlots C et D dont on veut calculer
la distance.
Les angles suivants ont été mesurés à partir de deux points A et B distants d'un kilomètre :
BÂC = 47°; DÂB = 113°; ABD = 39° et ABC = 95°. Calculer les distances AC, AD et CD.
Exercice 39 :
Dans un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ) de l’espace, on considère les points A(3 ;0 ;1) ,
B(0 ;–1 ;2) , C(1 ;–1 ;0) et D(1 ;1 ;–2) .
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a) Démontrer que les vecteurs AC et BC sont orthogonaux.
b) En déduire la nature du triangle ABC.
c) Calculer l’aire de ce triangle.
a) Déterminer un vecteur n tel que n  AC  0 et n  BC  0 .
b) En déduire une équation du plan (ABC) .
c) Déterminer la distance de D au plan (ABC) .
En utilisant les questions 1) et 2) , déterminer le volume du tétraèdre ABCD .
Exercice 40 : Bac S – La Réunion – Juin 2005
On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et
perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre
hauteurs sont concourantes.
Partie A
On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la
droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.
Partie B
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ) on donne les points A(3 ;2 ;–1),
B(–6 ;1 ;1), C(4 ;–3 ;3) et D(–1 ;–5 ;–1).
a) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : – 2x – 3y + 4z – 13 = 0.
b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
c) Calculer le produit scalaire BH  CD .
d) Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?
On définit les points I(1 ;0 ;0), J(0 ;1 ;0) et K(0 ;0 ;1).
Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?
Exercice 41: On considère dans le plan un triangle ABC. Les points P, Q, R, distinct des sommets du
triangle ABC, sont respectivement sur les droites (BC), (CA), (AB). Montrer que les cercles (CPQ),
(AQR), (BRP) ont un point commun I. Montrer que les points A, B, C, I sont cocycliques si et seulement
si les points P, Q, R sont alignés.
Exercice 42 C et C’ deux cercles qui se coupent en A et B, Δ une droite passant par A qui coupe C en M
et C’ en M’ la tangente à C en M et la tangente à C’ en M’ se coupent en T. Montrer que B, M, T, M’
sont cocycliques.
Exercice 43 : Soit Γ un cercle passant par deux points fixes A et B non diamétralement opposés. M un
point variable sur la droite (AB).
Les cercles passant par M et tangents à Γ respectivement en A et B, se recoupent en P. Déterminer le
lieu géométrique du point P.
Exercice 44 : ABCD un quadrilatère, (AC) coupe (BD) en I.
Montrer que les projetés de I sur les côtés de ABCD sont cocycliques si et seulement si  AC    BD 
Exercice 45 : Sont donnés un triangle ABC et un point M du plan non situé sur les côtés du triangle
ABC. On désigne par P, Q et R les projetés orthogonaux de M sur (BC), (CA) et (AB).
1° Contrôler que les vecteurs suivants sont tous non nuls : BM , CM , PQ, PR, PM

 
2° Établir les égalités : PQ, PM  CA, CM
   et  PR, PM    BA, BM    (on n’oubliera pas le
cas  MC    AC  et  MB    AB  ).
3° Déduire des résultats précédents que les projetés orthogonaux d’un point sur les côtés d’un triangle
sont alignés si et seulement si le point appartient au triangle ABC.
4° Reprendre la question 3° en remplaçant "projetés orthogonaux sur les côtés " par "symétriques
orthogonaux par rapport aux côtés "
Note : Les droites définies en 3° et 4° pour un point M du cercle circonscrit au triangle s’appelle
respectivement droite de Simson et de Steiner du point M.
Exercice 46 : ABC un triangle isocèle en A et M un point de la droite (BC) distinct de B et C.
1° Construire le cercle ΓM passant par M et tangent en C à (AC).
2° Le cercle ΓM coupe (AM) en M’. Déterminer le lieu géométrique du point M’.
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Exercice 47 : Soient O, A et O’ trois points distincts d’un cercle Γ de centre ω. Soient (С) et (C’) deux
cercles passant par A, de centres respectifs O et O’ et qui se coupent en un point P. (С) et (C’) coupent Γ
respectivement en S et S’.
1° Montrer que (OO’) est la médiatrice du segment [AP].
2° Montrer que les points O, P et S’ sont alignés.
3° Montrer que les points O’, P et S sont alignés.
4° Montrer que OS , O ' S '  3 AO, AO '   ; et que : AS , AS '  2 AO, AO '  

 


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5° Démontrer que la tangente Δ à Γ au point A, à une direction symétrique de celle de (SS’) par rapport
à (OO’).
Exercice 48 : On considère un triangle ABC non rectangle et α, β, γ les pieds des hauteurs issus de A,
B, C (le triangle αβγ est le triangle orthique du triangle ABC).
1° Montrer que les hauteurs (Aα), (Bβ) et (Cγ) sont des bissectrices du triangle orthique αβγ. Sont-elles
toujours des bissectrices intérieures ?
2° Déduire du 1° que les symétriques de α (par exemple) par rapport aux côtés (AB) et (AC) sont alignés
avec les autres pieds des hauteurs β et γ.
maths.mr
Professeur : Mahfoudh ould Mohamed Ammou
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