Algèbre 1 : Calculs algébriques & Algèbre linéaire

Algèbre 1 : Calculs algébriques & Algèbre linéaire
Deux plans vectoriels de l'espace
R3
en jaune et en vert, qui s'intersectent selon une droite vectorielle en bleu.
Sommaire
I
Éléments de logique et de théorie des ensembles
1
1 Éléments de logique
2
2 Éléments de théorie des ensembles
4
1.1 Proposition et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quanticateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Raisonnement mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L'ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Polynômes
III Espaces vectoriels
2
2
3
3
4
4
4
5
6
Première partie
Éléments de logique et de théorie des
ensembles
1
Chapitre 1
Éléments de logique
1.1 Proposition et connecteurs logiques
Dénition : Une proposition est un énoncé mathématique (ou non) qui possède l'une des valeurs de vérité
suivante : vrai (V) ou fausse (F).
Négation : Soit P une proposition.
P
V
F
non(P)
F
non(P) contraire logique de (P).
V
Conjonction et : Soient P et Q deux propositions.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
(P et Q) est V si P et Q sont simultanéments V.
F
F
Disjonction ou :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ou Q
V
V
(P ou Q) est V si l'une des propositions est V.
V
F
Implication : ⇒
(P ⇒ Q) est synonyme de (non(P) ou Q)
P non(P) Q P ⇒ Q
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
- Le F implique n'importe quoi
- (P ⇒ Q) est F uniquement lorsque P vraie et Q fausse.
(P ⇒ Q) V si et seulement si on a : si P est vraie alors Q est vraie.
Lorsque (P ⇒ Q) est V :
- P est une condition susante pour avoir Q.
- Q est une condition nécessaire pour avoir P.
2
Equivalence :
⇔
(P ⇔ Q) est synonyme de (P ⇒ Q et Q ⇒ P)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⇒Q
V
F
V
V
Q⇒P
V
V
F
V
P⇔Q
V
F
F
V
1.2 Quanticateurs
1.3 Raisonnement mathématique
3
Chapitre 2
Éléments de théorie des ensembles
2.1 Opérations sur les ensembles
2.2 Applications
2.3 L'ensemble des entiers naturels
4
Deuxième partie
Polynômes
5
Troisième partie
Espaces vectoriels
6