2014-2015 Logique Proposition conditionnelle directe, réciproque, contraposée, négation Soit P et Q deux proposition. La proposition « si P alors Q » est une propsition conditionnelle. Elle peut s’écrire « P ⇒ Q ». P est l’hypothèse, Q le conclusion ; si P est vraie, on peut en déduire que Q est vraie. Exemple : Le théorème de Thalès Un énoncé du théorème de Thalès : Soit un triangle ABC, M un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] distincts du point A. A b M b N b b B b C Si les droites (M N ) et (BC) sont parallèles, alors AN AM = . AB AC Application On donne AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm. Les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. Calculer AM . L’hypothèse est : « les droites (M N ) et (BC) sont parallèles ». AM AN On applique le théorème de Thalès : = . AB AC 4 4 AM = d’où AM = × 12 = 8 cm. En utilisant les données : 12 6 6 Réciproque La réciproque de la proposition « P ⇒ Q » est « Q ⇒ P ». Exemple : Réciproque du théorème de Thalès Soit un triangle ABC, M un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] distincts du point A. 1 2014-2015 Logique A b M N b b b B b C AM AN = , alors les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. AB AC Application On donne AB = 9, AC = 17, 5, AM = 5, 4, AN = 10, 5. Montrer que les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. Si On peut calculer les rapports : 5, 4 AN 10, 5 AM = = 0, 6 et = = 0, 6. AB 9 AC 17, 5 AM AN On a donc = , on peut en déduire que les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. AB AC Propositions équivalentes La proposition « P ⇒ Q et Q ⇒ P » s’écrit « P ⇐⇒ Q ». P est vraie si et seulement si Q est vraie. On dit que P et Q sont équivalentes. Elles sont vraies ou fausses simultanément. Exemple Soit x un nombre réel. La proposition « (x − 1)(x + 2) = 0 ⇐⇒ (x = 1 ou x = −2) » est vraie. On dit aussi : « (x − 1)(x + 2) = 0 si et seulement si x = 1 ou x = −2. Cela signigie que les deux propositions : « si (x − 1)(x + 2) = 0 est vraie, alors x = 1 ou x = −2 » et « si x = 1 ou x = −2, alors (x − 1)(x + 2) = 0 » sont vraies. Contraposée La contraposée de la proposition « P ⇒ Q » « non Q ⇒ non P ». Voir la fiche « Raisonnement par contraposée ». Négation 2 est la proposition 2014-2015 Logique La négation de la proposition « P ⇒ Q » est la proposition « P et non Q ». Exemple La proposition : « Pour tout entier naturel n, si n est un multiple de 4 et de 6, alors n est un multiple de 24 » est fausse. Pour montrer que cette proposition est fausse, on montre que sa négation est vraie. Cette négation est : « Il existe un entier naturel n, n est un multiple de 4 et de 6, et n n’est pas un multiple de 24 ». Pour montrer que cette négation est vraie, on donne un contre-exemple : si n = 12, n est un multiple de 4 et de 6 (12 = 4 × 3 = 6 × 2) et n n’est pas un multiple de 24. 3