Z transform 3

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Transformation en Z
Chapitre 3
Présentation de l’exemple 1
Temps moyen de lecture hors exercices : 30 minutes
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Exemple 1 d’équation (analyse de la situation) .................................................. 18
Exemple 1 d’équation (résolution : phase 1)....................................................... 19
Exemple 1 d’équation (résolution : phase 2)....................................................... 20
Exercices d’application directe ........................................................................... 21
Ce chapitre est une présentation de l’utilisation de la Transformée en Z
pour résoudre un premier type d’équation dont l’inconnue est un signal
causal discret.
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Exemple 1 d’équation (analyse de la situation)
Trouver le signal causal discret x : n → x (n ) tel que :
0 si n < 0
x (n ) − 2x (n − 1) = e(n ) = 
1 si n ≥ 0.
Vocabulaire
• L’expression x (n ) − 2 x (n − 1) = e(n ) est appelée « équation récurrente », et n
représente un entier.
• L’inconnue désignée par x représente un signal causal discret x : n → x (n ) à
trouver ( x (n ) = 0 si n < 0 )
Analyse de la situation
• Nous voyons apparaître le signal n → x (n − 1) nul pour n < 1 . Ce signal est
appelé « signal retardé de 1 du signal x ».
• On peut donner les premières valeurs du signal x de proche en proche :
x (0) = 1 puisque x (0) − 2 x (−1) = e(1) = 1 et x (−1) = 0.
x (0) = 1, x (1) − 2 x (0) = e(1) donc : x (1) = e(1) + 2 x (0) avec e(1) = 1, x (0) = 1 et x (1) = 3.
x (1) = 3 , x (2) − 2 x (1) = e(2) donc : x (2) = e(2) + 2 x (1) avec e(2) = 1, x (1) = 3 et x (2) = 7.
n
e( n )
x (n ) = 1 + 2 x (n − 1)
x (n − 1)
0
1
1
0
1
1
3
1
2
1
1+ 2×3
3
3
1
15
7
4
1
31
15
5
1
1 + 2 × 31
31
L’utilisation de la transformée en Z nous donnera l’expression de x (n ) en
fonction de n directement, on trouvera : x : n → x (n ) = 2 n +1 − 1 pour n ≥ 0.
VOIR PLUS LOIN
Exercice rapide Donner la valeur de x (8) par un calcul de proche en proche
lorsque le signal causal discret x vérifie l’équation
récurrente x (n ) − 2 x (n − 1) = e(n ) .
Réponse 511
(Remarque : on peut vérifie que ce résultat est conforme à l’expression de x que
l’on trouvera plus loin).
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Exemple 1 d’équation (résolution : phase 1)
On veut trouver le signal x qui est la solution de l'équation récurrente
(E)
x (n ) − 2x (n − 1) = e(n )
1. On transforme l'équation (E) à l’aide de la Transformée en Z
On utilise la ligne suivante du formulaire de mathématiques distribué
Signal retardé de n 0 : y(n ) = x (n − n 0 )
( Zy)(z) = z − n 0 ( Zx )(z)
Ici n 0 = 1: ( Zx )(z) − 2z −1( Zx )(z) = ( Ze)(z)
z
on obtient :
Comme ( Ze)(z) =
z −1
z
( Zx )(z) − 2z −1( Zx )(z) =
z −1
2. On isole ( Zx )(z)
1 − 2z −1 ( Zx )(z) = z


z −1
z z − 2
z
 2
; 1 −  × ( Zx )(z) =
;
 × ( Zx )(z) =
z −1  z 
z −1
 z
donc :
z2
( Zx )(z) =
(z − 2)(z − 1)
• Dans cette première phase on a trouvé la transformée en Z du signal inconnu x
• Dans une deuxième phase on va trouver le signal x qui admet cette
z2
transformée en Z, appelé « original de
» ce sera la solution.
(z − 2)(z − 1)
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Exemple 1 d’équation (résolution : phase 2)
Le signal x qui est la solution de l'équation (E) x (n ) − 2x (n − 1) = e(n ) est
l’unique signal x qui vérifie :
z2
( Zx )(z) =
(z − 2)(z − 1)
Il suffit d’utiliser ligne suivante du Formulaire de mathématiques :
z
f (n ) = a n
( Zf )(z) =
z−a
z
a
b
=
+
En effet, si on trouve les réel a et b tels que
(cette
(z − 2)(z − 1) z − 1 z − 2
opération s’appelle « décomposer en éléments simples) on en déduit :
z2
z
z
( Zx)(z) =
=a×
+ b×
et d ' après le Formulaire :
(z − 2)(z − 1)
z −1
z−2
z
z
x (n ) = a × e(n ) + b × 2 n puisque ( Ze)(z) =
et ( Z2 n )(z) =
z −1
z−2
3) On décompose en éléments simples
Trouvons a et b tels que
z
a
b
=
+
(z − 2)(z − 1) z − 1 z − 2
Réduisons au même dénominateur
:
.
z
(a + b)z − 2a − b
=
(z − 2)(z − 1)
(z − 2)(z − 1)
Identifions les numérateurs:
a + b = 1 2a + b = 0 on obtient : a = −1, b = 2 :
z
−1
2
=
+
.
(z − 2)(z − 1) z − 1 z − 2
4) On trouve l’original
z
z
z
z
( Zx )(z) = −
+ 2×
. On sait : ( Ze)(z) =
et ( Z2 n )(z) =
z −1
z−2
z −1
z−2
donc : x (n ) = −e(n ) + 2 × 2 n pour n ≥ 0
5) Conclusion
x (n ) = 2 n +1 − 1 pour n ≥ 0 (et x (n ) = 0 pour n < 0)
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Exercices d’application directe
Exercice 10
Trouver le signal causal discret x tel que :
x (n ) − 3x (n − 1) = 2e(n )
On sera amené à trouver les réel a et b tels que
z
a
b
=
+
.
(z − 1)(z − 3) z − 1 z − 3
Exercice 11
On se donne le signal causal discret x tel que
x (n ) − 10x (n − 1) = 1 pour n ≥ 0
1) Remplir le tableau suivant de proche en proche
0 1 2 3 4
n
x (n )
x (n − 1)
2) On note X(z) la transformée en Z du signal inconnu x.
2.1) Exprimer la fonction X(z)
2.2) Décomposer en élément simple la fonction
X(z)
z
2.3) Donner une expression simplifiée de X(z) permettant de trouver son
original.
2.4) Exprimer x (n ) pour n ≥ 0 .
2.5) Vérifier les valeurs obtenues dans le tableau à l’aide de l’expression
de x (n ) .