05-Transfo-Z-Theo-Avance-01 - HEH

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File : Transfo-Z-Theo-Avance-01
Avance : transformée en « z » d'un signal discret causal « avancé » dans le temps de
plusieurs échantillons
Soit le signal discret causal « { s (n . Te) . H (n . Te) } » représenté par la suite des nombres
« s (k . Te) . H (k . Te) » qui sont des échantillons du signal causal « s (t) . H (t) » à temps
continu ;
A ce signal « { s (n . Te) . H (n . Te) } », est associée la transformée en « z » :
k  
S (z) = Z [ { s (n . Te) . H (n . Te) } ](z) =

s (k . Te) . H (k . Te) . z- k
k 0
***********************************************************************
HERE
On avance ce signal discret « { s (n . Te) . H (n . Te) } » de « n0 » échantillons => on
obtient le signal « { s ((n + n0) .Te) . H ((n + n0) .Te) } » représenté par la suite des
nombres « s ((n + n0) .Te) . H ((n + n0) .Te) » qui sont les échantillons du
signal « s (t + n0 .Te) . H (t) » où « n = 0, 1, 2, …. , » ;
Donc, le signal discret « { sH,a (n . Te) } » NON causal est avancé par rapport au signal
discret « { s (n . Te) . H (n . Te) } » causal, s'il existe un entier naturel « n0 » tel que
« sH,a (n . Te) = sH ((n + n0) . Te) » ;
Ex : « n0 = 1 » <-> avance de « 1 . Te » =>
{ sH (n . Te) } = { sH (0), sH (1 . Te), sH (2 . Te), .. , sH (k . Te) ,… } ;
{ sH,a (n . Te) } = { sH (1 . Te), sH (2 . Te), .. , sH ((k + 1) . Te) ,… } = { sH ((n + 1) . Te) } ;
Théorème
La transformée en « z » du signal discret « { sH ((n + n0) .Te) } » NON causal avancé
de « n0 . Te » (avancé de « n0 »échantillons) par rapport au signal
discret « { s (n . Te) . H (n . Te) } »
causal, est :
***********************************************************************
HERE
Z [ { sH ((n + n0) . Te) } ](z) =
= z n0 . Z [ { sH (n . Te) } ](z) - zn0 . sH (0 . Te) - z(n0 – 1) . sH (1 . Te) - z(n0 – 2) . sH (2 . Te) - z(n0 – 3) . sH (3 . Te) - ….. - z . sH ((n0 – 1) . Te) ;
ou encore
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Z [ { sH ((n + n0) . Te) } ](z) = Z { sH (t + n0 . Te) }(z) =
i  n 0 1
n0
= z . Z [ { s (n . Te) . H (n . Te) } ](z) -

s (i . Te) . H (i . Te) . z- (i – n0) =
i 0
= zn0 . Z [ { s (t) . H (t) } ](z) -
i  n 0 1

s (i . Te) . H (i . Te) . z- (i – n0) ;
i 0
Démonstration
Soit le signal discret « { sH,r (n . Te) } » avancé de « 1 » échantillon par rapport au signal
discret « { sH (n . Te) } » ;
On a :
k  
Z [ { sH,a (n . Te) } ](z) =

sH,a (k . Te) . z-k = sH (1 . Te) . z-2 + sH (2 . Te) . z-3 + …. +
k 0
+ sH ((n – 1) . Te) . z-n + …. + 
Z [ { sH,a (n . Te) } ](z) =
= z . [ sH (1 . Te) . z-1 + sH (2 . Te) . z-2 + … + sH ((n – 1) . Te) . z- (n –1) + … + ] 
Z [ { sH,a (n . Te) } ](z) =
= z . { Z [ { sH (n . Te) } ](z) - sH (0 . Te) } = z . Z [ { sH (n . Te) } ](z) - z . sH (0 . Te) ;
***********************************************************************
HERE
La transformée en « z » du le signal discret « { sH ((n + n0) .Te) } » NON causal avancé
de « n0 » échantillons par rapport au signal discret « { s (n . Te) . H (n . Te) } » causal, est
donc :
k  
Z [ { sH ((n + n0) .Te) } ](z) =

sH ((k + n0) .Te) . z- k =
k 0
i  
=  sH (i .Te) . z- (i – n0) = z n0 .
i n 0
= z n0 . {
i  

i 0
sH (i .Te) . z- i -
i  

i n 0
i  n 0 1

sH (i .Te) . z- i =
sH (i .Te) . z- i } =
i 0
= z n0 . Z [ { s (n . Te) . H (n . Te) } ](z) -
i  n 0 1

sH (i . Te) . z- (i – n0) ;
i 0
Donc,
Z [ { sH ((n + n0) . Te) } ](z) =
= z n0 . Z [ { sH (n . Te) } ](z) - z n0 . sH (0 . Te) - z(n0 – 1) . sH (1 . Te) - z(n0 – 2) . sH (2 . Te) - z(n0 – 3) . sH (3 . Te) - ….. - z . sH ((n0 – 1) . Te) ;
ou encore
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Z [ { sH ((n + n0) . Te) } ](z) = Z [ { sH (t + n0 . Te) } ](z) =
= zn0 . Z [ { sH (n . Te) } ](z) -
i  n 0 1

sH (i . Te) . z- (i – n0) =
i 0
= zn0 . Z [ { s*H (t) } ](z) -
i  n 0 1

sH (i .Te) . z- (i – n0) ;
i 0
Ex : Soit la suite « { s (n . Te) . H (n . Te) } » telle que
« s (n . Te) . H (n . Te) = n . Te . H (n . Te) » où « n  N » ;
Z [ { s (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = Z [ { n . Te . H (n . Te) } ](z) = Te . (z /(z –1)2 ) ;
Soit « { sH,a (n . Te) } » telle que « sH,a (n . Te) = sH ((n + 2) . Te) » => ici, « n0 = 2 » =>
k  
Z [ { sH,a (n . Te) } ](z) =

sH,a (k . Te) . z- k = Z [ { sH ((n + 2) . Te) } ](z) =
k 0
= z . Z [ { s (n . Te) . H (n . Te) } ](z) - z 2 . sH (0 . Te) - z . sH (1 . Te) 
2
Z [ { sH,a (n . Te) } ](z) = z 2 . Te . [ z /(z –1)2 ] - z 2 . 0 - z . 1 . Te =
= z 2 . Te . [ z /(z –1)2 ] - z . 1 . Te = Te . { [ z 3 /(z – 1)2 ] - z } ! ! ! ! ! ! ! ! p 370 en bas
Si les conditions initiales sont nulles :
 s (0 . Te) . s (0 . Te) = 0 ;
 et « s (t = 0) . H (t = 0) = 0 » ;
=> il y a analogie entre :
 la transformée en « z » d'une suite avancée de « 1 . Te » ;
 et la transformée de LAPLACE de la dérivée d'un signal « s (t) . H (t) » ;
On a :
 dans le 1er cas : on multiplie par « z », la transformée en « z »
de « { s (n . Te) . H (n . Te) } » :
Z [ { s ((n + 1) . Te) . H ((n + 1) . Te) } ](z) = z . Z [ { s (n . Te) . H (n . Te) } ](z) ;
 dans le 2ème cas : on multiplie par « p », la transformée de transformée de
LAPLACE de « s (t) » : ℒ {
d
(s (t) . H (t)) }(p) = p . ℒ { s (t) . H (t) }(p) ;
dt