Télécharger

Chapitre 28 : Parallélogrammes particuliers
I - Le rectangle
1) Je sais que le quadrilatère est un rectangle.
Propriétés :
Si un quadrilatère est un rectangle, alors :
- il a quatre angles droits.
- ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
- ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
(TR) // (CU) et (TC) // (RU)
Remarques :
Un rectangle a 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Un rectangle a 1 centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
Exemple : 1) Construire un rectangle ABCD tel que AC = 5 cm et BC = 3 cm.
figure à main levée :
̂ . Justifier.
2) Déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶
Je sais que ABCD est un rectangle.
Or si un quadrilatère est un rectangle alors il a quatre angles droits.
̂ = 90°
Donc 𝐴𝐵𝐶
2) Je veux démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
Propriétés :
- Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
- Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et de même milieu, alors c’est un rectangle.
Exemple : On considère un cercle de centre O et deux diamètres [AB] et [DE].
Quelle est la nature du quadrilatère AEBD ? Justifier.
Je sais que O est le milieu de [BA] et [DE] et que AB=DE.
Or si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et de même milieu alors
c’est un rectangle.
Donc AEBD est un rectangle.
II - Le losange
1) Je sais que le quadrilatère est un losange.
Propriétés :
Si un quadrilatère est un losange, alors :
- ses quatre côtés ont la même longueur.
- ses côtés opposés sont parallèles.
- ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
(BE)//(AU) et (EA)//(BU)
Remarques :
Un losange a 2 axes de symétrie : ses diagonales.
Un losange a 1 centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
̂ = 40°
Exemple : 1) Construire un losange ABCD tel que AB = 3 cm et 𝐵𝐴𝐷
figure à main levée :
2) Que peut-on dire des droites (BD) et (AC) ? Justifier.
Je sais que ABCD est un losange.
Or si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Donc (𝐵𝐷) ⊥ (𝐴𝐶)
2) Je veux démontrer qu’un quadrilatère est un losange
Propriétés :
- Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange.
- Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
Exemple : On considère PIO un triangle rectangle en O.
Les points E et L sont les symétriques respectifs des points I et P par rapport à O.
Quelle est la nature du quadrilatère PILE ? Justifier.
Je sais que (𝑃𝐿) ⊥ (𝐼𝐸) et que O est le milieu de [PL] et [EI].
Or si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur
milieu et sont perpendiculaires alors c’est un losange.
Donc PILE est un losange.
III - Le carré
1) Je sais que le quadrilatère est un carré
Propriétés :
Si un quadrilatère est un carré, alors :
- il a quatre angles droits
- ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur
- ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires
et ont la même longueur.
(AB)//(CD) et (AC) // (BD)
Remarques :
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
- Un carré a 4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.
- Un carré a 1 centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
Exemple : Tracer un carré FACE sachant que AE = 4cm.
Figure à main levée :
2) Je veux démontrer qu’un rectangle ou un losange est un carré
Propriétés
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur,
alors c’est un carré.
Illustration
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires,
alors c’est un carré
Si un losange a un angle droit,
alors c’est un carré.
Si un losange a ses diagonales de même longueur,
alors c’est un carré.
Exemple : On considère un rectangle ZACH tel que ZA=ZH. Démontrer que le rectangle ZACH est un carré.
Je sais que ZACH est un rectangle tel que ZA = ZH.
Or, si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un
carré.
Donc ZACH est un carré.