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Année 2003-2004
Lycée R.ROLLAND
Elèves :Rhizlane BENALI(1ère S), Saba ZULIFQAR(2nd2), Afaf QEIYOU(1ère S)
Chercheur : Loïc ALLYS
Professeurs : Dominique GUY , Mickaël PRADO
SUJET : Comment trouver l’aire d’un quadrilatère quand on ne dispose que d’une
règle graduée ? On ne peut donc que mesurer des longueurs de côtés ou de
diagonales.
Problématique : Peut-on toujours utiliser les formules connues pour calculer les
aires ?
I Cas des parallélogrammes particuliers :
o Définition
o Calcul de l’aire.
II Cas généraux :
o comment les reconnaître ?
o Calcul de l’aire.
Problème : Ici on ne connaît pas la hauteur et on ne dispose ni d’équerre ni de
compas
I/CAS DES QUADRILATERES PARTICULIERS
1/ Le carré
o Propriété caractéristique utilisée :
Un carré est un rectangle particulier dont deux côtés consécutifs ont la même
longueur.
o comment les reconnaître ?
Il suffit de mesurer avec la règle graduée les diagonales et les côtés pour
vérifier cette propriété.
Schéma d’un carré :
Après avoir démontré qu’il s’agit bien d’un carré, il suffit d’utiliser la formule
magique : A=a²
2 / Le rectangle
o propriété des rectangles :
Un rectangle un quadrilatère particulier dont les diagonales ont la même
longueur et se coupent en leur milieu et dont les côtés opposés ont la même
longueur.
o Comment les reconnaître ?
Il suffit de mesurer à la règle graduée les côtés et les diagonales.
Schéma d’un rectangle :
Après avoir démontré qu’il s’agit bien d’un rectangle ,il suffit d’utiliser la formule
magique : A = L*l
3
/ Le losange
o Propriété du losange :
Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés égaux ,et deux
diagonales qui se coupent en leurs milieux.
o Comment les reconnaître ?
Il suffit de mesurer à la règle graduée les côtés et les diagonal
Schéma du losange
D
A
B
C
près avoir démontré qu’il s’agit bien d’un losange ,on applique la formule magique
A =1/2*(D*d)
II / Les cas généraux :
1 / Le Trapèze rectangle
Un trapèze rectangle est quadrilatère qui possède deux angles droits ,et deux côtés parallèles.
o Comment les reconnaître ?
Il suffit de démontrer que nous avons deux angles droits avec la réciproque de
Pythagore : Dans le triangle abc ,ab² + bc² doit être égal à ac².
a
d
b
c
Après avoir démontré qu’il s’agisse bien d’un trapèze rectangle ,on applique la formule
magique : A=1/2(Base + petite base)*h
2)quadrilatères généraux
A
B
C
D
Nous allons diviser le quadrilatère en deux triangles et travailler sur un seul des deux.
Supposons qu’on sache où se situe la hauteur h du triangle. On peut ainsi la mesurer.
Avec la formule de Pythagore ,on a h²+c’²=c²
Donc h² = c²-c’² = b²-b’².
Et
c²-b² = c’²-b’²
= (c’- b’)(c’+b’)
= (c’ - b’)*a
c’-b’ = 1/a*(c²-b²) = n
c’-b’= n
c’ +b’ =a
donc 2c’ = n+a
c’ = (n+a)/2