corrigé du TD n 5 : Nombres réels

MPSI A Lycée Hoche
Année scolaire 2016-2017
corrigé du TD n◦5 : Nombres réels
9.
a.
Posons f : x ∈ R+ 7→ x − sin(x). La fonction f est dérivable et pour tout x ∈ R+ , f 0 (x) =
1 − cos(x) ≥ 0. La fonction f est donc croissante, donc en particulier pour tout x ∈ R+ :
f (x) ≥ 0 donc sin(x) ≤ x. En considérant la fonction g : x ∈ R+ 7→ x + sin(x), on montre de
même que pour tout x ∈ R+ , − sin(x) ≤ x. Ainsi :
∀x ∈ R+ , |sin(x)| ≤ x.
Comme la fonction sin est impaire, pour tout x ∈ R− , |sin(x)| = |sin(−x)| ≤ |−x| = |x|,
donc :
∀x ∈ R, |sin(x)| ≤ |x| .
b.
Soient x, y ∈ R. La factorisation de sin(x) − sin(y) donne :
sin(x) − sin(y) = 2 cos
x+y
2
sin
x−y
2
.
Comme pour tout t ∈ R, |cos(t)| ≤ 1, alors d'après la question précédente :
x − y |sin(x) − sin(y)| ≤ 2 sin
≤ |x − y| .
3
c.
D'après la question 7, l'ensemble {n + 2mπ, (n, m) ∈ N × Z} est dense dans R. En eet,
posons α = 1/2π, l'ensemble {nα + m, (n, m) ∈ N × Z} est dense dans R. Soit x ∈ R, soit
ε > 0. Il existe (n, m) ∈ N × Z tel que :
x
ε
n
−
− m ≤
.
2π
2π
2π
En multipliant par 2π, on obtient :
|x − n − 2mπ| ≤ ε.
Soit donc y ∈ [−1, 1], soit ε > 0. Il existe x ∈ R tel que y = sin(x). Il existe (n, m) ∈ N × Z
tel que |x − ny − 2mπ| ≤ ε. D'après a question précédente :
|sin(x) − sin(n + 2mπ)| ≤ |x − n − 2mπ| ≤ ε
d'où :
|x − sin(n)| ≤ ε.
La suite (sin(n))n∈N est donc dense dans [−1, 1].