Equations et nb premiers - Corrigé

Evaluation arithmétique
Exercice no 1
1) On suppose les nombres p1 , p2 , . . ., pn rangés dans l’ordre croissant, avec p1 = 2.
Alors E = p1 × p2 × · · · × pn + 1 > 2 + 1 > 2.
On montre maintenant que E est premier avec p1 , le raisonnement est le même avec les autres nombres pi .
1 = E − p1 × p2 × · · · × pn = E × 1 + p1 × (−p2 × · · · × pn ) donc d’après le théorème de Bézout, E et p1 sont premiers entre
eux.
On montre de la même manière que E est premier avec tous les nombres p2 , . . ., pn .
2) E est supérieur à tous les nombres premiers p1 , . . . pn , donc différents d’eux, donc il n’est pas premier. Il admet donc un
diviseur premier, qui n’est pas dans la liste p1 , . . . pn .
Il existe donc un autre nombre premier dans cette liste, ce qui contredit l’affirmation de départ.
Exercice no 2
1) 256 = 28 ,
280 = 23 × 5 × 7.
2) a. pgcd(17640, 1750) = 2×5×7 = 70 (on prend la puissance la plus petite de chaque facteur premier des deux décompositions)
b. On détermine le plus petit commun multiple à chaque dénominateur. Pour cela on prend la puissance la plus grande de
chaque facteur premier des deux décompositions : P = ppcm(17640; 1750) = 23 × 32 × 53 × 72 (= 441 000), ce qui revient
à multiplier :
• 17640 par 52 = 25
• 1750 par 22 × 32 × 7 = 252.
1
1
252 25
227
On a alors
−
=
−
=
1750 17640
P
P
441 000
Exercice no 3
a et b sont premiers entre eux donc il existe u et v tels que au + bv = 1.
Donc auc + bvc = c. Or, a divise bc donc il existe un entier k tel que bc = ak,
Donc auc + avk = c, ce qui s’écrit en factorisant par a : a(uc + vk) = c.
Cette égalité prouve que a divise c.
Exercice no 4
1)
a. 23 × (−2) + 47 × 1 = 1 donc (−2; 1) est une solution de cette équation.
b. 23x + 47y = 23 × (−2) + 47 × 1
Donc 23(x + 2) = 47(1 − y) (1).
47 divise 23(x + 2) et comme 23 et 47 sont premiers entre eux, alors d’après le théorème de Gauss, 47 divise x + 2,
c’est-à-dire qu’il existe un nombre entier relatif k tel que x + 2 = 47k, soit x = −2 + 47k.
En remplaçant x par cette valeur dans l’équation (1), on trouve que y = 1 − 23k
D’où l’ensemble solution : S = {(−2 + 47k, 1 − 23k), k ∈ Z}.
c. Modulo 47, l’équation devient 23x ≡ 1(47) et les nombres x de l’ensemble S nous donne des valeurs de x vérifiant cette
équation.
En particulier pour k = 1, on trouve x = 45.
2)
a. Si ab ≡ 0(47), alors 47 divise ab, et on a deux cas possibles :
• Soit 47 divise a et dans ce cas a ≡ 0(47)
• Soit 47 ne divise pas a, et alors comme 47 est un nombre premier, il est premier avec a et alors d’après le théorème
de Gauss, il divise b et dans ce cas b ≡ 0(47)
b. Si a2 ≡ 1(47) alors a2 − 1 ≡ 0(47), c’est-à-dire (a − 1)(a + 1) ≡ 0(47), et en appliquant le résultat de la question
précédente on a soit a ≡ 1(47), soit a ≡ −1(47)
3)
a. D’après la question 1)c), l’inverse de 23 est 45 car 23 × 45 ≡ 1(47).
b. Pour calculer i(10), on écrit 10 × i(10) ≡ 1(47),
soit 10 i(10) − 1 est divisible par 47, or ce nombre se termine par 9.
On recherche donc parmi les multiples de 47 un nombre qui se termine par 9, le premier est 329 = 47 × 7.
On a alors 10 × i(10) = 330, soit i(10) = 33.
c. les nombres x tels que i(x) = x sont les nombres vérifiant x2 ≡ 1(47), et d’après la question 2)b), ce sont les nombres 1
et -1.