Introduction aux mathématiques de l`ingénieur

TABLE DES MATIÈRES
1 LES NOMBRES COMPLEXES
1
1.1 Représentation analytique et géométrique
2
La solution de toute équation de la forme az + bz + c = 0
Le plan de Gauss
Les opérations élémentaires dans C
Les nombres conjugués complexes et le module d’un nombre complexe
Le quotient de deux nombres complexes
L’interprétation géométrique de l’addition de deux nombres complexes
La forme polaire d’un nombre complexe
La multiplication et la division de nombres complexes en représentation polaire
Lieux géométriques
Le calcul de z n
La résolution de l’équation z n = a
1.2 La fonction exponentielle complexe
iθ
La fonction e , où θ est réel
La définition de ez
Les formules d’Euler
Les formules de de Moivre : expressions pour cos(nθ) et sin(nθ)
Le problème inverse : expressions transformées en une somme de termes de la forme
cos(mθ) et sin(nθ)
1.3 Les polynômes
Les principales définitions
Le théorème fondamental de l’algèbre
L’algorithme de Horner
Les racines d’un polynôme réel
1
3
4
5
6
7
8
8
10
12
13
14
16
16
17
18
18
19
19
19
20
21
22
1.4 Le logiciel Maple et les nombres complexes
23
Exercices
27
2 LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
2.1 Équations différentielles du premier ordre
L’origine des équations différentielles
Définitions et exemples
Une première application
Les équations différentielles à variables séparables
La croissance d’une population : le modèle simple
La croissance d’une population : le modèle plus réaliste
31
31
31
31
33
34
35
36
viii
Introduction aux mathématiques de l’ingénieur
La désintégration radioactive
La chute des corps
Équation différentielle d’une famille de courbes
Trajectoires orthogonales
Changements de variables
Les équations différentielles linéaires du premier ordre
Circuits électriques
37
38
45
48
50
53
60
2.2 Les équations différentielles du deuxième ordre se ramenant à des
équations différentielles du premier ordre
65
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (x, y , y ) = 0
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (y, y , y ) = 0
65
66
2.3 Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre : principes
généraux
68
Existence et unicité des solutions
68
Indépendance linéaire et Wronskien
69
La solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre
70
La solution générale d’une équation différentielle linéaire non homogène du deuxième ordre 71
Problèmes avec conditions initiales
72
Problèmes avec conditions aux limites
73
Obtention d’une deuxième solution d’une équation différentielle linéaire homogène
du deuxième ordre
74
La méthode de Lagrange
75
2.4 Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients
constants
78
Le cas de l’équation homogène
La méthode des coefficients indéterminés (équation non homogène)
Exemples d’équations différentielles linéaires du deuxième ordre
Les oscillations linéaires
78
82
84
88
2.5 Les équations différentielles linéaires d’ordre n
98
Le cas général
Le cas d’une équation différentielle homogène à coefficients constants
Le cas d’une équation différentielle non homogène à coefficients constants
98
99
102
2.6 Les équations différentielles linéaires de type Euler-Cauchy
103
2.7 Résumé : algorithme de résolution d’équations différentielles
106
2.8 Le logiciel Maple et les équations différentielles
108
Exercices
111
ix
3 LE CALCUL DIFFÉRENTIEL DES FONCTIONS DE PLUSIEURS
139
VARIABLES
3.1 Représentation géométrique
Définitions
Représentation géométrique d’une fonction de deux variables
Courbes et surfaces de niveau
3.2 Dérivées partielles et différentielle totale
Notions de limite et de continuité
Dérivées partielles
Le plan tangent à une surface z = f (x, y) au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
Différentielle totale et calculs d’erreurs
139
140
141
141
148
148
149
151
153
3.3 Dérivation des fonctions composées
159
3.4 Dérivées d’ordre supérieur
165
3.5 Dérivée directionnelle, gradient et plan tangent
167
Dérivée directionnelle
Le gradient d’une fonction de plusieurs variables
Les fonctions de trois variables et le plan tangent
3.6 Le théorème de Taylor et le calcul approché
Le théorème de Taylor
Le calcul approché
3.7 Extremums libres et extremums liés
Extremums libres
La droite des moindres carrés
La recherche d’extremums sur un domaine fermé
Extremums liés et la méthode des multiplicateurs de Lagrange
167
172
176
177
177
179
180
180
186
188
189
3.8 Les fonctions implicites et leurs dérivées
193
3.9 Les équations différentielles exactes
198
L’équation différentielle d’une famille f (x, y) = c
Équations différentielles exactes et méthode de résolution
Facteur intégrant
Différentielle exacte
3.10 Le logiciel Maple et les fonctions de plusieurs variables
Exercices
198
199
200
201
201
205
x
Introduction aux mathématiques de l’ingénieur
4 TRAVAUX PRATIQUES (RÉCAPITULATION DE LA MATIÈRE)
222
APPENDICE A : Aide-mémoire
257
APPENDICE B : Modèles d’examens
276
RÉPONSES
Exercices du chapitre 1
Exercices du chapitre 2
Exercices du chapitre 3
Travaux pratiques
Modèles d’examens
304
308
326
357
395
BIBLIOGRAPHIE
403
INDEX
405
1
Les nombres complexes
1.1 REPRÉSENTATION ANALYTIQUE ET GÉOMÉTRIQUE
Un jour, lorsque l’on vous a demandé de trouver le nombre x tel que
(1)
x + 4 = 7,
vous avez identifié sans hésiter le nombre x = 3. Voilà qui était bien facile, puisque, finalement,
tous les nombres apparaissant dans (1) étaient des entiers positifs. On désignera d’ailleurs par N
l’ensemble des entiers positifs. Vous avez certes remarqué que l’on peut additionner ou multiplier
des éléments de N tout en restant dans N.
Plus tard, devant l’équation
(2)
x + 7 = 5,
les choses se sont compliquées un tout petit peu. En effet, il vous a fallu considérer la notion plus
abstraite de nombres négatifs pour résoudre l’équation (2). Tout de même, vous avez réussi à trouver
que x = −2 était la solution de (2).
On désignera par Z l’ensemble des entiers (positifs, négatifs et 0). Vous savez, bien sûr, que l’on peut
facilement additionner, soustraire ou multiplier des éléments de Z tout en restant dans Z.
Par la suite, on vous a demandé de trouver la valeur de x satisfaisant l’équation
(3)
5x − 3 = 0.
C’est évidemment une équation qui n’a pas de solution dans l’univers des nombres entiers, c’est-àdire dans Z. Tout de même, puisque vous connaissez les fractions, vous êtes en mesure d’affirmer
que l’équation (3) a comme solution le nombre rationnel x = 35 = 0.6.
On désignera par Q l’ensemble des nombres rationnels. On a tous l’habitude d’effectuer des opérations
sur les nombres rationnels : on les additionne, on les soustrait, on les multiplie et on les divise (sauf
par 0), le résultat du calcul étant toujours, lui aussi, un nombre rationnel.
2
Introduction aux mathématiques de l’ingénieur
Si l’on vous demande de résoudre l’équation
x2 + 10x + 22 = 0,
(4)
et que vous cherchez une solution dans l’ensemble Q, vous n’en trouverez pas1 . Il est alors nécessaire
d’(( élargir )) votre univers ! C’est alors qu’en vous familiarisant avec un univers un peu plus grand,
soit l’ensemble R des nombres réels, vous
√ trouverez√que l’équation (4) possède une solution, et même
deux. En effet, les deux nombres −5 + 3 et −5 − 3 sont des solutions de (4) : ce sont des nombres
irrationnels (ils ne peuvent pas s’écrire comme des rationnels a/b où a et b sont des entiers).
Il est heureux de constater que l’on peut encore additionner, soustraire, multiplier et diviser des
nombres réels et que le résultat de chaque opération donne toujours un nombre réel. Jusqu’ici, pour
être en mesure de résoudre des équations de plus en plus compliquées, on a considéré des ensembles
de plus en plus grands, soit
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Il est facile de voir que l’équation
x2 + 1 = 0
(5)
n’a pas de solution réelle. En effet, pour n’importe quel nombre réel x, on a x2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1. Cela
veut dire que le membre de gauche de (5) ne peut jamais égaler 0. C’est pourquoi l’équation (5) n’a
pas de solution dans R.
Afin de pouvoir résoudre l’équation (5) ainsi que d’autres équations du même type, il est nécessaire
d’agrandir notre univers de nombres. Pour ce faire, considérons le plan cartésien R2 et représentons
notre univers connu R des nombres réels par les points situés sur l’axe des x (figure 1.1).
2
1
x
1
2
3
Figure 1.1
L’ensemble R est un ensemble beaucoup plus grand que celui de R, chacun de ses éléments z étant
un point z = (x, y) du plan cartésien. C’est donc dire en particulier que le nombre réel r est identifié
au point (r, 0) situé sur l’axe des x, que l’on appellera donc dorénavant l’axe réel.
2
1 Tout d’abord, l’équation (4) n’a pas de solution dans Z, car si l’on disait qu’un entier a en est la solution, on
aurait a2 + 10a + 22 = 0, d’où a(a + 10) + 22 = 0. Cela signifierait que a divise 22 et serait donc l’un des entiers
0, ±1, ±2, ±11, ±22. Or, aucun de ces entiers ne satisfait l’équation (4) (selon une vérification directe).
En second lieu, si un nombre rationnel a/b était une solution de (4), où a/b n’est pas un entier, donc avec a et b
entiers et b = 1, et où la fraction est réduite (c’est-à-dire que a et b n’ont aucun facteur premier en commun), alors,
2
par substitution dans (4), on aurait ab2 + 10 ab + 22 = 0, c’est-à-dire a2 + 10ab + 22b2 = 0. Comme b divise 10ab et
22b2 , il doit donc aussi diviser a2 , ce qui contredit le fait que a et b n’ont pas de facteur premier en commun.
1 Les nombres complexes
3
Peut-on additionner, soustraire, multiplier et diviser des éléments de R2 , tout comme on avait
l’habitude de le faire dans R ? Si oui, comment définit-on l’addition et la multiplication de deux
éléments, z1 = (a, b) et z2 = (c, d), de R2 ? En fait, on pose tout simplement
(6)
z1 + z2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
et
z1 · z2 = (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
(7)
Curieuse cette deuxième définition ! En fait, elle a un sens. On y reviendra d’ailleurs à la section Les
opérations élémentaires dans C, page 5. Auparavant, demandons-nous si ces définitions d’addition
et de multiplication sont toujours valables lorsque l’on se restreint aux nombres réels. La réponse est
oui. En effet, si r et s sont deux nombres réels qui dans R2 s’écrivent respectivement (r, 0) et (s, 0),
on a
(r, 0) + (s, 0) = (r + s, 0)
et
(r, 0) · (s, 0) = (rs − 0, r · 0 + 0 · s) = (rs, 0),
ce qui est bien rassurant !
L’ensemble des points (x, y) ∈ R2 muni des opérations définies en (6) et (7) est appelé l’ensemble
des nombres complexes. On le désigne par C.
Il est coutumier de désigner le nombre complexe (0, 1) par la lettre i. Pourquoi ce traitement spécial ?
Parce que selon (7), on a
(8)
i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0) = −1,
car le nombre complexe
(−1, 0) est tout simplement le nombre réel −1. C’est pourquoi d’ailleurs on
√
écrit souvent i = −1. Comme l’équation (8) peut aussi s’écrire
i2 + 1 = 0,
√
cela veut donc dire que l’on a trouvé une solution à l’équation x2 + 1 = 0, soit x = i = −1. Pour
ce faire, on a dû agrandir notre univers de nombres ! En effet, R n’étant pas suffisamment grand, il
a fallu créer C.
La solution de toute équation de la forme az 2 + bz + c = 0
Bravo ! on a finalement résolu l’équation x2 + 1 = 0. On a, en fait, des outils pour résoudre n’importe
quelle équation du deuxième degré à une inconnue. Considérons, par exemple, l’équation
(9)
z 2 + 10 = 0.
2
On cherche un nombre complexe
√ z tel que z = −10. Maintenant que2 dans notre nouveau√système
de nombres C, le nombre i = −1 a un sens (c’est le point (0, 1) ∈ R = C !), le nombre −10 est
tout simplement
√
√
√
√
−10 = (10) · (−1) = 10 · −1 = 10 · i.
4
Introduction aux mathématiques de l’ingénieur
√
Alors, on vérifie aisément que z = 10 · i est solution de (9), car
√
√
z 2 + 10 = ( 10 · i)2 + 10 = ( 10)2 · i2 + 10 = 10 · (−1) + 10 = −10 + 10 = 0.
√
Où est √
donc situé ce point z = 10 · i dans le plan complexe C ? Il est tout simplement le point
z = (0, 10).
En suivant le même raisonnement, il est clair que si a est un nombre réel positif, la solution de
z2 + a = 0
est tout simplement z =
√
a · i.
Fort de ces outils, on peut résoudre n’importe quelle équation quadratique, soit n’importe quelle
équation de la forme
az 2 + bz + c = 0,
(10)
où a(= 0), b et c sont des coefficients réels. En effet, cette équation a habituellement deux solutions,
soit
√
−b + b2 − 4ac
,
z1 =
√2a
−b − b2 − 4ac
.
z2 =
2a
Toutefois, si la quantité b2 − 4ac est négative, celui qui ne connaı̂t que l’ensemble des nombres réels
dira que l’équation (10) n’a pas de solution. En fait, il veut dire qu’elle
√ n’a pas de solution réelle.
Or, maintenant que l’on connaı̂t les nombres complexes, la quantité b2 − 4ac (avec b2 − 4ac < 0)
ne nous effraie plus, parce que
√
b2 − 4ac = (4ac − b2 )(−1) = 4ac − b2 −1 = 4ac − b2 · i.
C’est pourquoi, si b2 − 4ac < 0, l’équation (10) possède deux solutions dans C, soit
(11)
b
z1 = − +
2a
√
4ac − b2
i
2a
et
b
z2 = − −
2a
√
4ac − b2
i.
2a
On reviendra à l’équation quadratique avec des coefficients réels ou complexes vers la fin de la section
La résolution de l’équation z n = a, page 14.
Le plan de Gauss
On est maintenant bien familier avec deux types de nombres complexes :
– les nombres réels, soit ceux de la forme (x, 0) = x, situés sur l’axe réel (ou droite réelle) dans le
plan C ;
– les nombres dits imaginaires purs, soit ceux de la forme (0, y) = y · i, situés sur l’axe des y dans le
plan C. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’au lieu de parler de l’axe des y, on parlera dorénavant
de l’axe imaginaire (ou droite imaginaire).
1 Les nombres complexes
5
Or, il y a aussi tous les autres nombres complexes z = (x, y) ∈ C qui ne sont situés ni sur l’axe réel
ni sur l’axe imaginaire ; c’était le cas des solutions z1 et z2 de az 2 + bz + c = 0 données en (11). Un
tel nombre z = (x, y) peut s’écrire
(12)
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + y · i.
On vient donc de voir que tout nombre complexe peut s’écrire comme la somme d’un nombre réel et
d’un nombre imaginaire pur. C’est pourquoi, étant donné un nombre complexe z = x + yi, on dira
que x est sa partie réelle et que y est sa partie imaginaire. On écrira
(13)
x = Re(z)
et
y = Im(z).
Ainsi, l’ensemble C peut être défini comme C = {x + iy : x, y ∈ R}, où i2 = −1.
Il est important de signaler qu’un nombre complexe z est uniquement déterminé par ses parties réelle
et imaginaire, c’est-à-dire qu’existe l’unicité de la représentation. En d’autres mots, si z = x + iy =
u + iv (avec x, y, u, v ∈ R), alors u = x et v = y. En effet, il est clair que si x + iy = u + iv, alors
iv − iy = x − u,
i(v − y) = x − u.
x−u
est un nombre réel, ce qui n’a pas de sens puisque l’on a vu
v−y
que i = (0, 1) était un nombre purement imaginaire. C’est pourquoi v = y et donc x − u = i(v − y) =
i · 0 = 0, d’où x = u.
Or, si v = y, on a donc que i =
Le plan xOy, où chaque nombre complexe est localisé, est souvent appelé le plan de Gauss (ou plan
complexe ou parfois diagramme d’Argand).
Les opérations élémentaires dans C
On peut encore se féliciter parce que, étant donné notre façon de définir les opérations d’addition et
de multiplication dans l’ensemble des nombres complexes (soit par les relations (6) et (7)), C hérite
des règles que l’on utilise de manière routinière lorsque l’on effectue des opérations d’addition et de
multiplication dans R. En effet, les règles de commutativité (c’est-à-dire a + b = b + a et a · b = b · a),
d’associativité (c’est-à-dire (a + b) + c = a + (b + c) et (a · b) · c = a · (b · c)) et de distributivité
(c’est-à-dire a · (b + c) = a · b + a · c) sont toujours valables dans C : on vérifie cela facilement en
utilisant les définitions (6) et (7).
Que l’on écrive un nombre complexe z sous la forme (x, y) ou sous la forme x + iy, c’est pareil !
C’est ainsi que l’on peut effectuer les opérations d’addition et de multiplication sur deux nombres
complexes z1 = (a, b) = a + bi et z2 = (c, d) = c + di, soit en utilisant les définitions (6) et (7), soit
en additionnant et en multipliant algébriquement les quantités a + bi et c + di tout comme on a
l’habitude de le faire avec des nombres réels, mais cette fois en gardant à l’esprit que i2 = −1.
C’est ainsi qu’il était finalement tout à fait naturel (et pas si curieux, comme on l’a d’abord
prétendu !) de définir le produit de deux nombres complexes par la relation (7). En effet, si z1 =
(a, b) = a + bi et z2 = (c, d) = c + di, alors
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ac − bd, ad + bc),
6
Introduction aux mathématiques de l’ingénieur
ce qui est bien conforme à la définition (7).
La soustraction de deux nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di ne pose pas de difficulté, parce
que l’on a
z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
Maintenant, comment peut-on effectuer la division de deux nombres complexes z1 = a + bi et
z2 = c + di = 0 ? On y reviendra à la section Le quotient de deux nombres complexes, page 7.
Auparavant, introduisons la notion de conjugué complexe.
Les nombres conjugués complexes et le module d’un nombre
complexe
Si l’on (( réfléchit )) le nombre z = x + iy à travers l’axe réel (effet de miroir), on obtient le nombre
x − iy. C’est ce nombre que l’on désigne par z et que l’on appelle le conjugué complexe de z
(figure 1.2). Ainsi,
1 − i = 1 + i,
πi = −πi,
√
√
5 =
5.
z
z
Figure 1.2
Des relations
z = x + iy
et
z = x − iy,
1
(z + z)
2
et
y = Im(z) =
on déduit facilement que
(14)
x = Re(z) =
1
(z − z).
2i
De même, quels que soient les nombres complexes z1 et z2 , il est facile de démontrer que
(15)
(16)
z1 + z2
z1 − z2
=
=
z1 + z2 ,
z1 − z2 ,
(17)
z1 · z2
=
z1 · z2 .
De même, si z = x + iy, alors
(18)
z · z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 ∈ R
1 Les nombres complexes
7
et
z = x + iy = x − iy = x + iy = z.
(19)
Enfin,
z=z
si et seulement si z est un nombre réel,
car
x + iy = x − iy ⇐⇒ y = −y ⇐⇒ y = 0 ⇐⇒ z est réel.
Étant donné un nombre complexe z = x + iy, on désigne par |z| son module, soit la longueur du
vecteur u = (x, y). On a donc, par définition,
|z| = x2 + y 2 .
Ainsi,
|1 + i| =
√
|πi| = π,
2,
| − 4| = 4.
En fait, si z est réel, c’est-à-dire si z = x + i · 0, alors
|z| = |x + i0| =
√
x2 =
x
si x ≥ 0,
−x si x < 0.
Lorsque l’on parle de |z|, on dit parfois valeur absolue de z.
Remarquons que selon la définition de |z| et selon (18), on a
√
(20)
|z| = zz
et
|z|2 = zz.
(21)
Le quotient de deux nombres complexes
Commençons d’abord par chercher l’inverse 1/z de z = x + iy = 0. En fait, on cherche le nombre
1
complexe w tel que w = , c’est-à-dire tel que wz = 1. Or, il est vrai que
z
zz
= 1,
|z|2
car
C’est donc dire qu’en choisissant w =
(22)
zz
(x + iy)(x − iy)
x2 + y 2
=
=
= 1.
|z|2
x2 + y 2
x2 + y 2
z
, on a bien wz = 1. Ainsi,
|z|2
1
x − iy
x
y
z
= 2 = 2
= 2
− 2
i.
2
2
z
|z|
x +y
x +y
x + y2
On peut maintenant calculer le quotient z1 /z2 comme suit :
c
1
1
−d
ac + bd bc − ad
z1
= (a + bi) ·
= z1 ·
= (a + bi) ·
+
i
= 2
+ 2
i.
(23)
z2
z2
c + di
c2 + d2
c2 + d2
c + d2
c + d2