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S TRUCTURE
0.1
Création/transport de structures
Partant d’un ensemble (E, ∗E , RE ) munis d’une structure (une loi interne et une relation) on souhaite construire
une structure sur un autre ensemble F (munis d’aucune structure).
Pour celà le procédé est toujours le même : on se sert d’une application (’canonique’) que l’ on désire rendre de
type morphisme (pour créer une structure de même type).
Pour fixer les idées prenons l’exemple d’un ensemble E munis d’une loi interne ∗E (j’aurais pu munir E d’une autre
structure à l’aide d’une relation ou loi externe par exemple). Et mettons que je m’intéresse à un ensemble F que je
voudrais équiper d’une loi interne. Dans ce cas si :
(i) (structure image) Si F est un ensemble quelconque l’application canonique choisie est une bijection,notons là
f : E → F 1 . Pour me permettre de créer une loi interne sur F je me demande comment faire agir les éléments
de F de manière à exploiter la structure de départ ((E, ∗E )) et permettre à f d’être un morphisme.
Q
(ii) (structure produit) Ici on dispose d’une famille de structures : (Ei , ∗i )I et on désire Q
équiper F := I Ei .
Dans ce cas les ’applications canoniques’ choisies seront les projections canoniques pi : I Ei → Ei . On crée
la loi produit de manière à rendre ces projections des morphismes.
(iii) (structure induite) si F := A ⊂ E est une partie de E on raisonne de même avec l’injection ’canonique’
(iv) (structure quotient) Cette fois si l’ensemble de départ est munis d’une loi interne et d’une relation d’équivalence. On peut donc introduire l’ensemble quotient. On souhaite donc munir F := E/R d’une loi interne.
L’appliaction cannique choisie est la surjectin canonique π : E → E/R. On requiert ici deux conditions : ∗E
doit être compatible avec R et on doit rendre π un morphisme.
On a ainsi créer les lois produits, images, quotients induites.
0.2
Décomposition canonique/Factorisation d’un morphisme/application
Le cas des ensembles : factorisation d’une application
On dispose d’un ensemble munis d’une relation d’équivalence (E, R) (et donc automatiquement de la surjection
canonique p : E → E/R) Le théorème de factorisation nous dit :
Théorème (théorème de factorisation "des applications entre ensembles").
Soit f : (E, R) → Y une application telle que (i) xRy =⇒ f (x) = f (y) a (resp. (ii) xRy ⇔ f (x) =
f (y) : l’autre sens) alors
(i) ∃!g : E/R :→ Y (g est uniquement déterminée) telle que f = g ◦ p (factorisation de f )
(ii) ∃!g : E/R :→ Y telle que f = g ◦ p et g est injective.
a. (f compatible avec R)
On peut modéliser ce théorème par le "diagramme commutatif".
Ainsi sur un ensemble quelconque X si l’on définit la relation xRy ⇔ f (x) = f (y) (on "identifie" tous les arguments qui ont la même image), on définit ainsi une relation d’équivalence (on dispose donc de la surjection canonique
p) et cette relation d’équivalence vérifie (ii). On peut donc "factoriser" f d’une unique manière à l’aide d une unique
application (qui plus est injective) de l’ensemble quotient dans Y .
1. N’importe quelle bijection permettra de créer un structure sur F néanmoins pour créer une structure intéressante sur F on peut être amener à
bien choisir f et non au hasard
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Le cas des structures : factorisation des morphismes
Soit (E, R, ∗) un ensemble munis d’une relation d’équivalence (on dispose donc automatiquement de la surjection
canonique p : E → E/R ) et d’une l.c.i. telle que (xRx0 et yRy 0 ) =⇒ x ∗E yRx0 ∗E y 0 (∗ compatible avec R). On
peut donc munir E/R d’une l.c.i (la loi quotient).
Remarque. On pourrait procéder de même pour la loi quotient externe. cf. p49 RDO tome 1.
Théorème (théorème de factorisation "des morphismes" entre structures).
Soit f : (E, R, ∗E ) → (F, ∗F ) un morphisme telle que ∗E soit compatible avec sa l.c.i. relation d’équivalence. Si f est compatible avec R (resp. (ii) xRy ⇔ f (x) = f (y) : l’autre sens) alors
(i) ∃!g : (E/R, ∗E/R :→ (F, ∗F ) (g est uniquement déterminée) avec g un morphisme telle que
f = g ◦ p.
(ii) ∃!g : (E/R, ∗E/R :→ (F, ∗F ) telle que f = g ◦ p et g est injective.
Remarque. On peut généraliser aux lois extrenes.
Ainsi sur une structure quelconque (E, ∗E ) si l’on définit la relation xRy ⇔ f (x) = f (y) (on "identifie" tous
les arguments qui ont la même image), on définit ainsi une relation d’équivalence (on dispose donc de la surjection
canonique p) qui est compatible avec ∗E . De plus cette relation d’équivalence est compatible ave f et vérifie (ii). On
peut donc "factoriser" f d’une unique manière à l’aide d un unique morphisme (qui plus est injective) g : (E/R, ) →
(F, ) de l’ensemble quotient dans Y .
On vient donc de trouver un moyen simple (disons ’canonique’) de factoriser une application f : (E, ∗E ) →
(F, ∗F ).
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