Anneaux factoriels, anneaux noethériens (TD7)

Anneaux factoriels, anneaux noethériens (TD7)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Avril 2013
Exercice 1
Soit k un corps. Montrer que le sous-anneau de k[X, Y ] engendré par les X n Y pour n ≥ 1 n'est pas
noethérien.
Exercice 2
Soit k un corps.
a) Montrer que le sous-anneau k[T 2 , T 3 ] de k[T ] n'est pas factoriel.
b) Montrer que la k-algèbre k[X, Y ]/(X 2 − Y 3 ) est isomorphe à k[T 2 , T 3 ].
c) Montrer que la k-algèbre k[X, Y ]/(X 2 − Y ) est isomorphe à k[T ].
d) Montrer que la k-algèbre k[X, Y ]/(XY − 1) n'est pas isomorphe à k[T ].
Exercice 3
On rappelle qu'un nombre complexe x est un entier algébrique s'il existe un polynôme P ∈ Z[X]
unitaire tel que l'on ait P (x) = 0. On note Q la clôture algébrique de Q dans C et Z son sous-anneau
des entiers algébriques.
a) Montrer que le corps des fractions de Z est Q.
b) Montrer que Z n'est pas noethérien.
Exercice 4
Soit A = {P ∈ Q[X] | P (0) ∈ Z}.
a) Déterminer le corps des fractions de A.
b) Montrer que A n'est pas factoriel.
c) Montrer que A n'est pas noethérien.
d) Montrer que A est de Bézout, c'est-à-dire que tout idéal de type ni de A est principal.
Exercice 5
Soit A un anneau factoriel tel que tout idéal premier non nul est maximal.
a) Soient x, y des éléments non nuls de A, que l'on suppose premiers entre eux. Montrer qu'il
existe u, v ∈ A vériant ux + vy = 1.
b) Soit I un idéal non nul de A. Montrer qu'il existe d ∈ A non nul qui est un pgcd de tous les
éléments de I .
c) Conclure que A est principal.
Exercice 6
Soit A un anneau commutatif unitaire noethérien.
a) En raisonnant par l'absurde, montrer que, pour tout idéal I de A, il existe des idéaux premiers
Pi vériant P1 P2 · · · PnI ⊆ I .
b) Montrer que l'on peut exiger I ⊆ Pi pour tout 1 ≤ i ≤ nI dans la question précédente.
c) En déduire qu'il existe un nombre ni d'idéaux premiers minimaux.
Exercice 7
Soient A un anneau commutatif unitaire et P un A-module. On dit que P est projectif si pour tout
1
surjectif de A-modules f : M 0 → M et pour tout morphisme g : P → M , il existe un morphisme
h : P → M 0 tel que l'on ait g = f ◦ h.
a) Montrer qu'un module est projectif si et seulement si il est facteur direct d'un module libre.
b) Supposons que A est un corps. Montrer que tout A-module est projectif.
c) Supposons A principal. Montrer que tout A-module projectif de type ni est libre.
d) Supposons A local, c'est-à-dire qu'il possède un unique idéal maximal. En utilisant le lemme
de Nakayama, montrer que tout A-module projectif de type ni est libre.
Soient R1 et R2 deux anneaux commutatifs unitaires non nuls. On considère l'anneau produit R =
R1 ⊕ R2 , sur lequel R1 et R2 sont des modules via les projections canoniques.
e) Montrer que R1 et R2 sont des R-modules projectifs non libres.
Soient Λ l'anneau des fonctions R → R continues 2π -périodiques et M le Λ-module des fonctions
f : R → R continues et vériant f (x + 2π) = −f (x) pour tout x ∈ R.
f) Montrer l'isomorphisme de Λ-modules
∼
Λ⊕Λ −
→
(f, g) 7→
f cos
x
2
+ g sin
M ⊕ M
x
2 , f sin
x
2
− g cos
x
2
.
g) Montrer que M est un Λ-module projectif non libre.
Exercice 8
Soient A un anneau commutatif unitaire et X un ensemble. Soit M un A-module. On note M X le
A-module des fonctions de X dans M .
On dit que M est de présentation nie s'il existe des entiers n et m tels que M s'insère dans une
suite exacte
Am → An → M → 0.
a) Supposons A noethérien et M de type ni sur A. Montrer que M est de présentation nie.
b) Supposons M de présentation nie. Montrer que l'application naturelle AX ⊗A M → M X est
un isomorphisme.
Supposons A noethérien.
c) Montrer que AX est un A-module plat.
d) Montrer que l'application canonique AX ⊗A M → M X est une injection dont l'image est le
sous-A-module de M X formé des fonctions sur X à valeurs dans un sous-A-module de type
ni de M .
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