Questions-type-Bac-S-Enseignement obligatoire

Questions « type-bac »
Toutes séries (S et ES) - Mathématiques
Version de démonstration gratuite (extraits)
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Enseignement spécifique
(anciennement obligatoire)
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Énoncés et corrigés
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en un minimum de temps et avec un maximum d’efficacité ! Vous ferez le bon choix !
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Remarques importantes :
1. ces exercices sont ni spécialement difficiles, ni spécialement faciles mais parfaitement adaptés et conçus pour
une préparation optimale pour le bac. L’objectif principal est de vous faire progresser le plus vite ;
2. ces exercices ne sont pas spécialement longs. Même si certains prolongements seraient possibles, leur nombre de
question est volontairement limité afin de cibler au plus juste chaque notion importante ;
3. ces exercices ne sont pas classés par degré de difficulté mais par thèmes et sous-thèmes. Vous pouvez donc
directement travailler vos points faibles. Il n’est donc pas nécessaire de lire ce document de façon linéaire du
début à la fin, vous commencerez là où vous le voudrez ;
4. les solutions des exercices sont rédigées afin de correspondre parfaitement à ce qu’il faudrait, idéalement, noter
sur une copie de baccalauréat ;
5. n’hésitez pas à venir (re)visiter notre site ci-dessous pour trouver les dernières versions de nos documents et
également découvrir nos autres productions.
http://question-type-bac.fr/
2
Faut-il travailler avec les annales de bac ?
On pourrait s’imaginer qu’il s’agit là d’un bon moyen de préparation. Mais c’est loin d’être le travail idéal et
optimal. Les sujets de bac nécessitent souvent d’avoir synthétisé et assimilé plusieurs notions simultanément. Or,
le futur bachelier est rarement à ce stade avancé durant l’année scolaire. Avant de pouvoir faire des synthèses, il
faut, en préalable, travailler indépendamment chaque notion.
Les sujets de bac ne permettent pas un travail ciblé !
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On trouve, à profusion, des recueils de sujets de bac sur internet. Il y en a tellement qu’on a tendance à s’y
c
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perdre. Ne pas savoir par quoi commencer. Nous vous proposons une approche totalement différente et nettement
plus efficace (gain de temps considérable sur votre travail de préparation) :
réaliser une préparation ciblée en travaillant les questions-types
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Grâce à ce document sur les questions-types, vous travaillez point par point, vous prenez vos repères, vous
progressez en un temps minimum. Et vous serez alors préparé au mieux pour faire une synthèse et réussir vos
épreuves de baccalauréat (tout en vous libérant du temps pour d’autres tâches).
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BAC S ET ES
Questions-types
(version de démonstration)
1.1
Fonction exponentielle
Question 1 - Comparaison entre e et x + 1
x
Démontrer que pour tout réel x :
x + 1 6 ex
p
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c
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r
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.
http://question-type-bac.fr
Pour comparer deux quantités, une méthode consiste à étudier le signe de leur différence. D’où l’idée de considérer
la fonction f définie pour tout réel x par :
f (x) = ex − (x + 1) = ex − x − 1
i
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q
La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, on a :
f ′ (x) = ex − 1
Déterminons les réels x pour lesquels cette dérivée est positive. Pour cela, on résout l’inéquation suivante :
f ′ (x) > 0
ex − 1 > 0
ex > 1
ex > e0
Et par croissance de la fonction ln sur R∗+ (ou la croissance de la fonction exponentielle sur R) (1)
x>0
On en déduit que la dérivée f ′ est positive sur l’intervalle [0 , +∞[ d’où le tableau de variations suivant :
x
Signe de f ′ (x) = ex − 1
Variations
0
−∞
0
−
+∞
+∞
+
+∞
de la
fonction f
0
1. La croissance de la fonction ln se traduit pour A et B strictement positifs par :
A 6 B ⇐⇒ ln(A) 6 ln(B)
En particulier, si A et B sont des nombres de la forme A = ea et B = eb , on obtient :
ea 6 eb ⇐⇒ ln ea 6 ln eb
C’est-à-dire :
ea 6 eb ⇐⇒ a 6 b
Ce qui traduit la croissance de la fonction exponentielle. En présence de quantités strictement positives, la croissance de la fonction
logarithme népérien est donc équivalente à celle de la fonction exponentielle.
1.2
Lectures graphiques
4
Figure 1.1 – Tableau de variations de la fonction x 7−→ ex − (x + 1)
On constate que la fonction f admet, sur R, un minimum égal à 0 en 0.
En conséquence, la fonction f est positive sur R, autrement dit, pour tout réel x :
x + 1 6 ex
Pour aller plus loin, on peut montrer, de même, les inégalités suivantes :
ln(x) 6 x − 1
1 − x 6 e−x
c
a
b
e
ln(1 + x) 6 x
r
f
.
.................................................................................................................
1.2
p
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Lectures graphiques
Question 2 - VRAI ou FAUX à partir de la courbe de la dérivée
Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle [−3 , 2] telle que f (0) = −1.
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u
q
On donne, ci-dessous, la représentation graphique C ′ de la fonction dérivée f ′ de f :
−3
y
2
1
−2
1
−1
C′
2
x
−1
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 , −1], f ′ (x) 6 0.
2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 , 2].
3. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 , 2], f (x) > −1.
4. On note C la courbe représentative de la fonction f . La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe
par le point de coordonnées (1 , 0).
http://question-type-bac.fr
Afin de faciliter les choses, on peut dresser le tableau de variations de la fonction f . Étant donné que la dérivée f ′
est strictement négative sur l’intervalle [−3 , −1[ puis strictement positive sur l’intervalle ]−1 , 2], la fonction f est
donc strictement décroissante sur l’intervalle [−3 , −1[ puis strictement croissante sur l’intervalle ]−1 , 2] avec un
minimum m (inconnu) en −1. Rajoutons, de plus, l’information f (0) = −1 dans ce tableau.
1.2
Lectures graphiques
5
−3
x
Signe de f (x)
′
−1
0
0
+
−
2
Variations
de la
−1
fonction f
m
Figure 1.2 – Tableau de variations de f .
Nous pouvons maintenant aisément répondre aux questions posées.
r
f
.
1. C’est VRAI puisque la courbe C ′ est située en dessous de l’axe des abscisses sur cet intervalle.
c
a
b
e
2. C’est VRAI puisque la dérivée f est positive sur cet intervalle.
′
3. La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [−1 , 0] (d’après le tableau de variations précédent) donc :
f (−1) < f (0)
Or, f (0) = −1 donc :
p
y
t
on
f (−1) < −1
Il existe donc un réel x de l’intervalle [−3 , 2] (à savoir x = −1) pour lequel f (x) n’est pas supérieur ou égal
à −1. L’affirmation proposée est donc FAUSSE.
i
t
s
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u
q
4. Notons y = ax + b l’équation de cette tangente. Son coefficient directeur a est donné par le nombre dérivé en 0
donc :
a = f ′ (0) = 1
L’équation de cette tangente est donc de la forme y = x + b.
De plus, on sait que f (0) = −1 ce qui nous permet de calculer l’ordonnée à l’origine b :
−1 = 0 + b
b = −1
On a, ainsi, complètement déterminé l’équation de la tangente en question, grâce aux données de l’énoncé. Cette
équation est :
y =x−1
On vérifie, sans peine, que lorsque x = 1, on a alors y = 0, ce qui signifie que cette tangente passe bien par le
point de coordonnées (1 , 0). L’affirmation proposée est donc VRAIE.
.................................................................................................................
1.2
Lectures graphiques
6
Question 3 - Détermination d’une fonction à partir d’informations graphiques
Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = (b − x)eax où a et b sont deux constantes
On note Cf la courbe représentative de la fonction f donnée ci-dessous.
On sait que :
• les points A(0 , 2) et D(2 , 0) appartiennent à la courbe Cf ;
• la tangente à la courbe Cf au point A est parallèle à l’axe des abscisses.
1. Exprimer f ′ (x) en fonction des constantes a et b.
c
a
b
e
2. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f (0).
′
3. En déduire les valeurs des constantes a et b.
p
y
t
on
Représentation graphique de la fonction f :
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t
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q
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
r
f
.
http://question-type-bac.fr
f (x)
2
A
1
D
1
−1
2
3
4
x
−1
Cf
−2
−3
Figure 1.3 – Représentation graphique de la fonction f .
1. La fonction f est de la forme :

 u(x) =
f = uv avec
 v(x) =
b−x
eax
Comme les fonctions u et v sont dérivables sur R, la fonction f l’est donc également par produit et on a :
f ′ = u′ v + uv ′
Ce qui donne, pour tout réel x :
f ′ (x) = −eax + (b − x) × aeax
On factorise par eax , on obtient :
f ′ (x) = −1 + (b − x)a eax
2. Puisque le point D(2 , 0) est sur la courbe Cf , on a :
f (2) = 0
Puisque la tangente à la courbe Cf au point A est parallèle à l’axe des abscisses, on a :
f ′ (0) = 0
1.3
Probabilités et suites
7
3. La condition f (2) = 0 se traduit par :
(b − 2)e2a = 0
b=2
La condition f ′ (0) = 0 se traduit par :
−1 + ba e0 = 0
ab = 1
Et comme b = 2, on en déduit :
a=
c
a
b
e
1
2
r
f
.
En conclusion, une expression algébrique de la fonction f est :
f (x) = (2 − x)e 2
x
p
y
t
on
.................................................................................................................
1.3
Probabilités et suites
i
t
s
e
u
q
Question 4 - Probabilités conditionnelles et suites
Un archer étudie ses statistiques de réussite lors de séances de tirs à l’arc. Il remarque que lors d’une série :
• il possède 70% de chance de réussir le premier tir ;
• s’il réussit un tir, alors il gagne en confiance et possède 80% de chance de réussir le suivant ;
• s’il rate un tir, alors il perd confiance et ne possède plus que 60% de chance de réussir le suivant.
On note pn la probabilité que l’archer réussisse le n−ième tir de la série.
1. Démontrer que, pour tout entier n > 1 :
pn+1 = 0,2pn + 0,6
2. On pose, pour tout entier n > 1 :
un = pn − 0,75
Démontrer que la suite (un ) est géométrique. On précisera sa raison q ainsi que son premier terme u1 .
3. Exprimer un , puis pn , en fonction de n.
4. Quelle est la limite de la suite (pn ) ? Interpréter.
http://question-type-bac.fr
1. Notons Sn l’événement « l’archer réussit son n-ième tir » et illustrons à l’aide d’un arbre la transition entre le
n-ième tir et le (n + 1)-ième tir.
1.3
Probabilités et suites
8
pn
1 − pn
Sn
0,8
Sn
0,2
Sn+1
0,6
c
a
b
e
Sn+1
Sn+1
0,4
r
f
.
Sn+1
La probabilité pn+1 qu’il réussisse son (n+1)-ième tir est donnée par la formule des probabilités totales appliquée
à la partitions Sn ∪ Sn :
pn+1 = p(Sn+1 ) = pSn (Sn+1 ) × p(Sn ) + pSn (Sn+1 ) × p Sn = 0,8pn + 0,6(1 − pn ) = 0,2pn + 0,6
2. Pour tout entier n > 1, on a :
p
y
t
on
un+1 = pn+1 − 0,75 = 0,2pn + 0,6 − 0,75 = 0,2pn − 0,15
Factorisons par 0,2 :
i
t
s
e
u
q
un+1 = 0,2(pn − 0,75) = 0,2un
On a prouvé que la suite (un ) est géométrique de raison q = 0,2.
Son premier terme est u1 = p1 − 0,75 = −0,25.
3. Comme on vient de voir que (un ) est une suite géométrique, on a pour tout entier n > 1 :
un = u1 × q n−1 = −0,25 × 0,2n−1
Comme pn = un + 0,75, on en déduit :
pn = −0,25 × 0,2n−1 + 0,75
4. Comme 0,2 ∈ ]−1 , 1[, on a :
lim 0,2n−1 = 0
n→+∞
Par conséquent :
lim pn = 0,75
n→+∞
En conclusion, à long terme, le taux de réussite des tirs de la série tend vers 75%.
.................................................................................................................
1.4
1.4
Loi binomiale - Algorithme - Logarithme
9
Loi binomiale - Algorithme - Logarithme
Question 5 - Étude d’une inéquation du type an 6 b par algorithme et par calcul
On lance plusieurs fois de suite un dé (à 6 faces et bien équilibré).
On note n le nombre de lancers (n > 2) et X le nombre de 6 obtenus.
1. Justifier que la probabilité d’obtenir au moins un 6 (sur l’ensemble des n lancers) est :
n
5
p(X > 1) = 1 −
6
2. Un informaticien conçoit l’algorithme suivant :
R est un réel
Déclarations
n est un entier
Entrée
c
a
b
e
r
f
.
SAISIR le nombre R, compris entre 0 et 1
p
y
t
on
Initialisation AFFECTER à n la valeur 0
TANT_QUE 1 - (5/6)^n < R
Traitement
n PREND_LA_VALEUR n + 1
FIN_TANT_QUE
i
t
s
e
u
q
Sortie
AFFICHER le nombre n
Compléter le tableau suivant dans le cas où l’utilisateur rentre la valeur R = 0,5 dans l’algorithme ci-dessus :
Valeur de n
Valeur de 1 −
Condition 1 −
0
5 n
6
5 n
6
1
2
0
<R
Vrai
Quelle valeur de n est affichée en sortie ?
Les résultats numériques de cette question seront arrondis à 10−4 près.
3. À l’aide de l’algorithme précédent, préciser combien de fois il faudrait lancer le dé pour que la probabilité
d’obtenir au moins un 6 soit supérieure à 50%.
4. Retrouver le résultat précédent en résolvant, par un calcul rigoureux, l’inéquation p(X > 1) > 0,5.
1. On répète de façon identique et indépendante n fois une même expérience aléatoire comportant deux issues
(à savoir S : « obtenir 6 » et E : « ne pas obtenir 6 »).La probabilité de succès à l’une de ces n épreuves est
p = p(S) = 16 . Ainsi, le nombre total X de succès est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
n et p =
1
6
:
X
1
B n,
6
On a donc, pour tout entier k compris entre 0 et n, la probabilité d’obtenir k succès qui est donnée par :
k n−k
n k
n
1
5
n
n!
n−k
p(X = k) =
p (1 − p)
=
où
=
k
k
6
6
k
k!(n − k)!
Pour calculer la probabilité d’obtenir au moins un 6, on peut raisonner avec l’événement contraire, à savoir
obtenir aucun 6. Cette dernière probabilité est :
p(X = 0) =
n
5
6
1.4
Loi binomiale - Algorithme - Logarithme
10
D’où :
p(X > 1) = 1 − p(X = 0) = 1 −
n
5
6
2. Complétons le tableau en calculant successivement, comme le fait l’algorithme, les différentes valeurs de 1−
Valeur de n
n
Valeur de 1 − 56
n
Condition 1 − 65 <
0
1
2
3
4
0
0,1667
0,3056
0,4213
0,5177
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
5 n
6
:
Faux
n
On constate que pour les premières valeurs de n (pour 0, 1, 2 et 3), la condition 1 − 65 < 0,5 est satisfaite. La
R
r
f
.
valeur de n est donc incrémentée dans ces cas. Mais lorsque n vaut 4, la condition devient fausse et le contenu
c
a
b
e
de la boucle TANT_QUE n’est plus exécuté. Le nombre affiché en sortie est donc n = 4.
3. Grâce à cet algorithme, on constate expérimentalement que jusqu’à 3 lancers, la probabilité d’obtenir au moins
un 6 reste inférieure à 0,5 mais qu’à partir du quatrième lancer, cette probabilité dépasse les 50%. Mais ceci est
purement expérimental.
p
y
t
on
4. Retrouvons (ou plutôt prouvons) ce résultat, mathématiquement, en résolvant l’inéquation :
p(X > 1) > 0,5
D’après la question 1 :
i
t
s
e
u
q
Isolons le terme
5 n
6
1−
n
5
> 0,5
6
qui contient notre inconnue n :
Ce qui s’écrit encore :
1 − 0,5 >
n
5
6
n
5
6 0,5
6
Utilisons le logarithme népérien. Comme c’est une fonction croissante sur R∗+ , son application aux deux membres
d’une inégalité ne change pas le sens de cette dernière :
5 n
ln
6 ln(0,5)
6
Par ailleurs, d’après la propriété ln An = n ln(A), nous obtenons :
5
n ln
6 ln(0,5)
6
Or, nous savons que ln 65 est négatif puisque 56 est compris entre 0 et 1. Par conséquent :
n>
La calculatrice donne :
Mais n est un entier donc :
ln(0,5)
ln 56
ln(0,5)
≈ 3,8018
ln 56
n>4
Il faut donc bien effectuer au moins 4 lancers de dé afin que la probabilité d’obtenir au moins un 6 soit supérieure
à 50%.
.................................................................................................................
1.5
Lois normales
1.5
11
Lois normales
Question 6 - Calculs directs et réciproques avec la loi normale - Centrage et réduction
Dans une population, on étudie la taille des individus.
La moyenne des individus est µ = 1,76 m. L’écart-type est σ = 0,10 m.
On choisit une personne au hasard et on note X sa taille.
On admet que cette variable aléatoire X suit une loi normale N de moyenne µ et d’écart-type σ. On notera (2) X
N (µ , σ).
c
a
b
e
1. Calculer la probabilité que cette personne mesure moins de 1,80 m.
2. Calculer la probabilité que cette personne mesure entre 1,70 m et 1,80 m.
r
f
.
3. Calculer la probabilité que cette personne mesure plus de 2 m.
4. On sait que cette personne est telle que 75% des individus de la population sont plus petit que lui. Quelle
taille mesure cette personne ?
p
y
t
on
On arrondira les calculs numériques à 10−4 près.
http://question-type-bac.fr
D’une manière générale, pour ce type d’exercice, on pose :
i
t
s
e
u
q
Z=
X − 1,76
X −µ
=
σ
0,10
ainsi Z suit la loi normale centrée réduite :
Z
N (0 , 1)
1. Il s’agit de calculer p(X 6 1,80). Grâce au centrage et à la réduction, on ramène le calcul de cette probabilité
à un calcul de probabilité sur Z :
p(X 6 1,80) = p
X − 1,76
1,80 − 1,76
6
0,10
0,10
= p(Z 6 0,4) = Φ(0,4) ≈ 0,6554
Conclusion : environ 65,5% de chance que l’individu mesure moins de 1,80 m.
2. Cette fois, il s’agit de calculer p(1,70 6 X 6 1,80) : Toujours par centrage et réduction, on obtient :
1,70 − 1,76
X − 1,76
1,80 − 1,76
p(1,70 6 X 6 1,80) = p
6
6
0,10
0,10
0,10
D’où :
p(1,70 6 X 6 1,80) = p(−0,6 6 Z 6 0,4) = Φ(0,4) − Φ(−0,6) ≈ 0,3812
Conclusion : environ 38% de chance que l’individu mesure entre 1,70 m et 1,80 m.
3. Cette fois, il s’agit de calculer p(X > 2). Via l’événement contraire (3) :
X − 1,76
2 − 1,76
p(X > 2) = 1 − p(X 6 2) = 1 − p
6
= 1 − p(Z 6 2,4) = 1 − Φ(2,4) = Φ(−2,4) ≈ 0,0082
0,10
0,10
Conclusion : environ 0,8% de chance que l’individu mesure plus de 2 m.
4. Il s’agit, cette fois, de déterminer une borne a telle que p(X 6 a) = 0,75.
On doit donc résoudre :
p(X 6 a) = 0,75
2. certains auteurs ou ouvrages notent X
N µ , σ2 .
3. si X est une variable aléatoire discrète, le contraire de l’événement X > 2 est X < 2 (ou encore X 6 1) mais en probabilités
à densité, le contraire de l’événement X > 2 (qui est toujours X < 2) peut s’écrire X 6 2. En effet, la probabilité qu’une variable
aléatoire à densité soit égale à une valeur précise donnée est nulle (p(X = 2) = 0).
1.6
Intervalle de fluctuation asymptotique
p
12
X − 1,76
a − 1,76
6
0,10
0,10
p(Z 6 b) = 0,75 où b =
Φ(b) = 0,75 où b =
= 0,75
a − 1,76
0,10
a − 1,76
0,10
La calculatrice donne :
b ≈ 0,6745
a − 1,76
≈ 0,6745
0,10
c
a
b
e
a ≈ 1,8274
Conclusion : la personne mesure environ 1,83 m.
r
f
.
.................................................................................................................
1.6
p
y
t
on
Intervalle de fluctuation asymptotique
Question 7 - Intervalle de fluctuation - Règle de décision
i
t
s
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q
Une élection a eu lieu et un candidat, Monsieur G. GANIET, est élu avec 72% des suffrages exprimés.
Suspicieux ou mauvais perdant, un autre candidat, Monsieur D. MAULI, demande un recomptage des voix
dans deux bureaux de vote :
• dans le bureau no 1, 500 bulletins de vote sont vérifiés et le candidat G. GANIET obtient 75% des suffrages ;
• dans le bureau no 2, 1000 bulletins de vote sont vérifiés et le candidat G. GANIET obtient 79% des suffrages.
1. Sachant que sur l’ensemble des suffrages exprimés, le candidat G. GANIET a obtenu un score de 72%,
calculer un intervalle de fluctuation asymptotique, au niveau de confiance de 95%, de la fréquence des voix
en sa faveur pour un échantillon de taille n = 500.
Peut-on considérer que le score de 75% dans le bureau de vote no 1 est significativement éloigné du score
de référence de 72% au point d’affirmer (avec un niveau de confiance de 95%) qu’il y a eu une fraude dans
ce bureau de vote ?
2. Même question avec le bureau de vote no 2 (on calculera un intervalle de fluctuation asymptotique pour
un échantillon de taille n = 1000).
http://question-type-bac.fr
1. Un intervalle de fluctuation asymptotique, au niveau de confiance de 95%, de la fréquence des voix pour un
échantillon de taille n = 500 est donné par la formule :
"
#
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
IF A95% = p − 1,96
, p + 1,96
n
n
où p est la proportion connue des voix dans la population (ici p = 0,72) et n la taille de l’échantillon.
Avec un échantillon de taille n = 500, on obtient :
"
#
r
r
0,72 × 0,28
0,72 × 0,28
IF A95% = 0,72 − 1,96
, 0,72 + 1,96
500
500
IF A95% = [0,68 , 0,76]
1.6
Intervalle de fluctuation asymptotique
13
Cela signifie que dans 95% des échantillons de taille de n = 500, la fluctuation de la fréquence est de l’ordre
de ±4 points autour de 72%. Autrement dit, cette fréquence varie de façon « naturelle » entre 68% et 76%.
Notons, f la fréquence d’un échantillon quelconque de taille n = 500. On peut donc énoncer la règle de décision
suivante :
Si f ∈ [0,68 , 0,76] alors l’échantillon en question est considéré comme conforme
Si f ∈
/ [0,68 , 0,76] alors l’échantillon en question est considéré comme non conforme (ou douteux)
r
f
.
Dans le bureau de vote no 1, on a une fréquence f = 0,75 qui appartient à l’intervalle de fluctuation.
On peut donc affirmer, avec un seuil de confiance de 95%, qu’il n’y a pas eu de fraude dans ce bureau de vote.
c
a
b
e
(La légère variation de 3 points n’est que le fait de la fluctuation naturelle des fréquences).
2. On reprend les mêmes calculs que précédemment mais, cette fois, avec un échantillon de taille n = 1000 :
#
"
r
r
0,72 × 0,28
0,72 × 0,28
, 0,72 + 1,96
IF A95% = 0,72 − 1,96
1000
1000
p
y
t
on
IF A95% = [0,69 , 0,75]
On obtient un intervalle de confiance plus « resserré » que précédemment et c’est normal puisque pour des plus
grands échantillons, la fréquence va naturellement moins fluctuer.
Dans le bureau de vote no 2, on a une fréquence f = 0,79 qui n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation.
i
t
s
e
u
q
On peut donc affirmer, avec un seuil de confiance de 95%, qu’il y a eu fraude dans ce bureau de vote. (L’écart
de 7 points est trop élevé pour être considéré comme naturel).
Bien sûr, ces considérations sont valables à partir du moment où les deux bureaux de vote correspondent à des
échantillons représentatifs des électeurs. Dans un bureau de vote ou tel ou tel candidat obtient habituellement
un score supérieur à la moyenne, on ne peut pas raisonner de la sorte.
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