TD n 3 : Partie 1 (semaine du 07/03) : Variables aléatoires `a densité

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
UFR de Mathématiques
Licence Informatique S4
Probabilités-Statistique
Année 2015-2016
TD n◦ 3 : Partie 1 (semaine du 07/03) : Variables aléatoires à densité.
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Loi uniforme
Exo 1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a, b]. Calculer l’ésperance et
la variance de X. Quelle condition doit on donner sur les réels a et b pour que la variable
aléatoire −X suive la même loi que X ?
Exo 2. Existe t’il une variable aléatoire réelle X, telle que :
∀a, b ∈ R (a ≤ b), on ait P[{X ∈ [a, b]}] = b − a ?
Exo 3. Soit X une variable uniforme sur [0, 1]. Comment construire, en fonction de X, une variable aléatoire Y suivant une loi de Poisson de paramètre λ ?
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Loi à densité, loi exponentielle, loi normale
Exo 4. Soit X une variable aléatoire réelle à densité f sur R, donner une condition nécéssaire et
suffisante sur f pour que −X suive la même loi que X.
Exo 5. Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0. Démontrer la propriété
suivante (absence de mémoire) :
∀t, s ∈ R∗+ , P[X > t + s | X > t] = P[X > s]
Exo 6. On se donne X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ . On définit la suite
(un )n≥1 où un = E[X n ]. En utilisant une intégration par partie, déterminer une expression
numérique pour la suite (un )n≥1 .
Exo 7. On se donne X,Y , deux variables aléatoire normale centrées réduites indépendantes, a, b ∈
R. Quelle est la loi de aX + bY ?
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Convergence, loi faible des grands nombres
Exo 8. Soit (Xi )i≥1 une suite de variable aléatoire géometrique indépendante de paramètre p ∈
]0, 1[. Pour tout n ≥ 1, on définit Tn = ∑ 1 ≤ i ≤ nXi et Yn = Tnn . Calculer les limites suivantes :
(i) limn→∞ P[Tn > np ]
(ii) limn→∞ P[Yn > np ].
Exo 9. Soit (Xi )i≥1 une suite de variables I.I.D suivant la loi uniforme sur [0, θ ] où θ > 0. On
pose Yn = max(X1 , X2 , ..., Xn ).
(i) Pour n ≥ 1, calculer la fonction de répartition de Yn .
(ii) En déduire la loi de Yn et calculer E[Yn ] et Var(Yn =.
(iii) Montrer, à l’aide de (i), que la suite Yn converge en probabilité vers une limite que
l’on précisera. Converge t’elle presque sûrement ? (on pourra s’intéresser à la monotonie
de (Yn )n .
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