ANNEAUX CORPS POLYNOMES 4.1 Savoir Faire

Chapitre 4
ANNEAUX CORPS POLYNOMES
4.1
Savoir Faire
Exercice 4.1 Montrer les congruences suivantes :
92n−1 + 8n+1 ≡ 0 [73]
16n − 15n − 1 ≡ 0 [225]
106n + 103n − 2 ≡ 0 [111]
8
Exercice 4.2 Déterminer le reste modulo 7 de 10(9 )
Exercice 4.3
1. Déterminer des entiers u et v tels que 7u + 11v = 1.
2. Chercher une solutionparticulière dans Z des
systèmes suivants :
n ≡ 1 [7]
n ≡ 0 [7]
n ≡ 5 [7]
,
,
n ≡ 0 [11]
n ≡ 1 [11]
n ≡ 6 [11]
3. Résoudre dans Z le dernier système.
Exercice 4.4 Résoudre par une méthode analogue :

 n ≡ 3 [17]
n ≡ 4 [11]

n ≡ 5 [6]
Exercice 4.5
1. Résoudre l’équation x2 − 4x + 1 = 0 dans Z/11Z
2. Résoudre dans (Z/12Z)2 le système
5x + 2y = 3
2x + 4y = 6
Exercice 4.6 Déterminer le groupe des inversibles de Z/8Z. Ce groupe est-il cyclique ?
Exercice 4.7 On pose :
n
o
√
√
Q[ 7] = a + b 7, (a, b) ∈ Q2
√
1. Montrer que Q[ 7] est un corps.
√
2. Déterminer tous les morphismes de corps de Q[ 7] dans lui-même.
Exercice 4.8
1. Factoriser dans R[X] le polynôme X 4 +X 2 −2 en produit de polynômes irréductibles.
2. Factoriser dans C[X] puis dans R[X] les polynômes suivants en produit de polynômes irréductibles :
5
X − 1,
,
n−1
X
Xk
k=0
3. Trouver le reste de la division euclidienne de (cos α + X sin α)n par X 2 + 1
Exercice 4.9 Montrer que le polynôme
Pn = X n+1 cos(n − 1)ϕ − X n cos nϕ − X cos ϕ + 1
est divisible par X 2 − 2X cos ϕ + 1
Exercice 4.10 Déterminer tous les polynômes tels que
P (2) = 6;
P 0 (2) = 1;
P 00 (2) = 4;
13
∀n ≥ 3, P (n) (2) = 0
Exercice 4.11 Soit x1 , x2 , x3 les trois racines complexes du polynôme
X 3 + pX + q
1. Donner les relations entre les coefficients p et q et les racines x1 , x2 , x3 .
2. Trouver le polynôme normalisé de degré 3 dont les racines sont x1 + x2 , x1 + x3 ,
Exercice 4.1
x2 + x3 .
1. Décomposer en éléments simples dans C(X) les fractions suivantes :
X
,
−1
1
−1
X3
Xn
2. Décomposer en éléments simples dans R(X) :
1
,
+1
X3
X4
1
+ X2 + 1
On commencera par décomposer le dénominateur en produit de poduit de polynômes irréductibles
dans R[X].
Exercice 4.12 Soit
F (X) =
(X 3
1
− 1)3
1. Ecrire un développement limité à l’ordre 2 de F (X)(X − 1)3 au voisinage de 1.
2. Déterminer la partie polaire relative au pôle 1.
3. En remarquant que F (jX) = F (j 2 X) = F (X) déterminer la décomposition de F en éléments
simples.
4.2
Les Classiques
Exercice 4.13 Anneau des entiers de Gauss
On pose :
Z[i] = a + ib, ; a ∈ Z, ; b ∈ Z
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C.
2. Soit U l’ensemble des éléments inversibles de Z[i]. Montrer que, pour tout z ∈ Z[i] on a :
z ∈ U ⇔ |z| = 1
3. Déterminer U . Est-il isomorphe à un groupe connu ?
Exercice 4.14 Anneau des matrices à coefficients dans Z
Soit Mn (Z) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans Z.
1. Montrer que Mn (Z) est un anneau.
2. Soit U l’ensemble des éléments inversibles de Mn (Z). Montrer que pour tout M ∈ Mn (Z) on a :
M ∈ U ⇔ (det(M )) = 1
3. Déterminer U .
Rappel : si M ∈ Mn (R) alors M est inversible (dans Mn (R)) si et seulement si son déterminant est
t
1
non nul et dans ce cas l’inverse est det(M
) com(M )
Exercice 4.15 Nombres de Carmichael
On appelle nombre de Carmichael (ou pseudo-premier) tout entier n non premier tel que
∀a ∈ Z, an ≡ a [n]
.
14
1. Montrer que ∀a ∈ Z, a561 ≡ a [3], [11], [17].
2. Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
561 est le plus petit nombre de Carmichael. Ces nombres sont rares mais il en existe une infinité.
Exercice 4.16 Théorème de Wilson
1. Montrer que si p est premier alors
(p − 1)! ≡ −1
[p]
Lorsque p ≥ 3, on pourra quand cela est possible regrouper chaque classe avec son inverse dans
le produit 12....p − 1 de tous les éléments non nul de Z/pZ.
2. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 4.17 Soit p un nombre premier, p ≥ 3. Dans le produit 12....p − 1, en regroupant les classes
x et y telles que y = −x, montrer que :
−1 est un carré dans Z/pZ ⇔ p ≡ 1[4]
Exercice 4.18 Caractérisation des carrés dans (Z/pZ)∗
Soit p un nombre premier différent de 2
On note G = (Z/pZ)∗ . On considère le morphisme de groupe ϕ de G dans G défini par :
x → x2
1. Déterminer le noyau de ϕ.
2. Déterminer le cardinal de l’image de ϕ. On pourra utiliser l’exercice 3.12.
3. Montrer que les éléments de l’image de ϕ sont racines du polynôme P = X
p−1
2
− 1.
4. En utilisant le fait que le polynôme P à coefficient dans le corps Z/pZ a au plus
Montrer que pour tout entier relatif a non divisible par p :
a
p−1
2
p−1
2
racines.
≡ 1 [p] ⇔ a est le carré d’un entier modulo p
Exercice 4.2 Morphisme de corps de R dans lui même
On veut montrer que l’identité est le seul morphismme de corps de R dans lui même.
Soit ϕ un morphisme de corps de R dans lui même.
1. En écrivant un nombre positif comme un carré, montrer que ∀h > 0, ϕ(h) ≥ 0
2. Montrer que ϕ est croissant.
3. Conclure.
Exercice 4.19 Tout sous-groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique
Soit K un corps commutatif fini (tout corps fini est commutatif). Soit r l’exposant de K ∗ , on a prouvé
exercice 3.14 que K ∗ possède un élèmént d’ordre r.
En utilisant le polynôme X r − 1, montrer que :
K ∗ est cyclique.
Exercice 4.20 Nombres de Fermat
n
On appelle nombre de Fermat les entiers Fn = 22 + 1 avec n ∈ N. Montrer que si n 6= m alors
Fn ∧ Fm = 1
Exercice 4.21 Les racines de P 0 sont dans l’enveloppe convexe des racines de P
Soit P ∈ C[X] de degré supérieur ou égal à 2.
1. Décomposer la fraction rationnelle P 0 /P en él éments simples.
15
2. Montrer que les racines de P 0 s’écrivent comme barycentre à coefficients positifs des racines de
P.
Exercice 4.22 Polynômes cyclotomiques
Soit n ∈ N∗ , on pose Un l’ensemble des racine nième de 1.
On appelle racine primitive nième de 1 tout générateur de Un et on note Pn l’ensemble des racines
primitives nième de 1.
On appelle polynôme cyclotomique d’ordre n
Y
φn =
(X − a)
a∈Pn
1. Calculer φn pour n ≤ 9, montrer qu’ils sont à coefficients entiers.
2. Montrer que
Xn − 1 =
Y
φd
d|n
3. Prouver par récurrence que ∀n,
φn ∈ Z[X]
On montre que les polynômes cyclotomiques sont irréductibles dans Q[X].
4.3
Pour aller plus loin
Exercice 4.23 Sur R[X] on définit la relation d’équivalence :
P RQ ⇔ (P − Q) ∈ (X 2 + 1)
On note R[X]/(X 2 + 1) l’ensemble des classes d’équivalence.
1. Montrer que l’on peut munir R[X]/(X 2 + 1) d’une structure de corps.
2. Montrer que R[X]/(X 2 + 1) est isomorphe à C.
Exercice 4.24 Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k − 1
Exercice 4.25 Soit x ∈ N\{0, 1} , soit (p, q) ∈ N2 tels que d = p ∧ q, montrer que
(xp − 1) ∧ (xp − 1) = (xd − 1)
Exercice 4.26 Symbole de Legendre :
 a

=0


 p
a
p = 1



 a = −1
p
Soit p un nombre premier. On note
a ≡ 0 [p]
si
sinon et si a
sinon
p−1
2
a
≡ 1 [p]
p−1
2
≡ −1 [p]
1. Montrer que l’on a :
2
∀(a, b) ∈ Z ,
a
b
ab
=
p
p
p
2. Soit a un entier relatif non divisible par p. Montrer que l’application
x 7→ ax
est une permutation de Z/pZ et calculer sa signature.
Exercice 4.27 Résoudre dans Z/11Z l’équation x2 + y 2 = z 2
Exercice 4.28 Trouver tous les polynômes P ∈ C[X] tels que P 0 divise P .
16
Exercice 4.29 Trouver tous les polynomes de C[X] tels que : P (X 2 ) = P (X − 1)P (X + 1)
Exercice 4.30 Soient (P, Q) ∈ C[X]2 tels que : ∀z ∈ C, |P (z)| = |Q(z)|.
Montrer qu’il existe u ∈ C, |u| = 1 tel que P = uQ.
Exercice 4.31 Soit P =
Pn
k=0 ak X
k
∈ R[X] dont les racines sont réelles simples.
1. Montrer que : ∀x ∈ R, on a P (x)P 00 (x) ≤ P 02 (x).
2. Montrer que : ∀k ∈ {1, ..., n − 1}, ak−1 ak+1 ≤ a2k
Exercice 4.32 Soit P ∈ R[X]
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) ∀x ∈ R, P (x) ≥ 0
ii) ∃A ∈ R[X], ∃B ∈ R[X], P = A2 + B 2
Exercice 4.33 Monrer que les racines distinctes de 1 du polynôme
P = nX n − X n−1 − X n−2 − ...... − X − 1
sont de module inférieur à 1 et que toutes les racines de P sont simples (On pourra considérer le
polynôme Q = (X − 1)P )
17