Chapitre 1 : Nombres Complexes

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FREDERIC PALESI
Chapitre 1 : Nombres Complexes
Exercice 1. Mettre sous la forme algébrique de a + ib (a, b 2 R) les nombres complexes
suivants:
z1 = (1 + 2i)(2
3i)(2 + i)(3
2i) ;
3 + 6i
3 4i
z2 =
;
z5 =
(1 + i)5
(1 i)3
Exercice 2.
(1) Mettre sous forme trigonométrique :
z1 = 3 + 3i
z2 =
p
1
3i
z3 =
4
i
3
z4 =
2.
(2) Mettre sous forme exponentielle
p
(1 + i 3)
z6 = p
,
3+i
1 i
z5 =
1+i
(3) Calculer
z7 = (1 + i)8 (1
p
i 3)
6
p !2012
1+i 3
.
2
Exercice 3.
Déterminer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes
z1 = e(
1+i ⇡6 )
;
z2 = e(2
i)
;
z3 = e(
i ⇡2 )
;
z4 = e(1+i)(
2+i ⇡3 )
.
Exercice 4. On considère un circuit électrique. La tension complexe obtenue est
p
u = jI0 2
✓
1
r + jL!
LC! 2 + jrC!
◆
où I0 , r, L, C et ! désignent des constantes strictement positives et j désigne le nombre
complexe qui vérifie j 2 =
1. Calculer le module de u.
TD DE MATHEMATIQUES 2014-2015
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Exercice 5.
(1) Enoncer la définition des racines carrées complexes d’un nombre complexe.
(2) Donner les racines carrées complexes des nombres
z1 = 5;
z2 = 0;
z3 =
9
(3) Calculer les racines carrées complexes des nombres
z4 = i;
z5 = 3 + 4i;
z6 = 8
6i
Exercice 6.
Calculer les puissances n-ièmes des nombres complexes :
p
1+i 3
1 + i tan ✓
z1 =
; z2 = 1 + j ; z3 =
.
1+i
1 i tan ✓
Exercice 7.
Résoudre dans C les équations suivantes :
z2 + z + 1 = 0
(1)
z2
(2)
(3)
(4)
(1 + 2i)z + i
p
z2
3z
iz 2 + (4i
1 =0
i =0
3)z + i
5 =0
Exercice 8. On pose ! = 1 + i
(1) Calculer les racines carrées complexes de !
(2) En calculant les racines carrées complexes d’une autre façon, déduire les expressions
à l’aide de radicaux de
cos
⇣⇡ ⌘
8
et
sin
⇣⇡ ⌘
8
.
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FREDERIC PALESI
Exercice 9 ( Racines cubiques).
(1) Donner la définition des racines cubiques complexes d’un nombre complexe.
(2) Combien de racines cubiques réelles possède un nombre réel ?
(3) Calculer les racines cubiques réelles (si elles existent) des nombres :
z1 = 1;
z2 =
8
(4) Calculer les racines cubiques complexes des nombres :
z2 =
8;
z3 = i;
z4 = 2
2i
Exercice 10 (Racines n-ièmes).
(1) Déterminer les racines 5-iemes de
1. Les dessiner sur le plan complexe.
(2) Résoudre dans C l’équation suivante :
6
z =
✓
1 i
p
3+i
◆
.
(3) (F) Résoudre z 5 = z̄
Exercice 11.
(1) Enoncer la formule de De Moivre.
(2) Soit ✓ un réel. Calculer cos 3✓ et sin 3✓ en fonction des puissances de cos ✓ et sin ✓.
(3) Faire de même avec cos 4✓ et sin 4✓.
Exercice 12. Formule d’Euler
(1) Enoncer les formules d’Euler
(2) Pour ✓ 2 R, Linéariser cos3 (✓) et sin3 (✓) (exprimer comme une somme de cos et de
sin sans qu’il y ait de produit)
(3) (facultatif) En déduire les primitives des fonctions ✓ 7! cos3 (✓) et ✓ 7! sin3 (✓).
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Exercice 13.
2⇡
On note ! = e 3 .
(1) Mettre ! et ! 2 sous forme algébrique.
(2) Vérifier que 1 + ! + ! 2 = 0.
(3) Factoriser le polynôme z 3
8i.
Exercice 14. (F)
On considère dans C l’équation (E) suivante:
z2
(1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0,
où a est un paramètre réel.
(1) Calculer en fonction de a 2 R les solutions z1 et z2 de (E) (indication: on pourra
déterminer les racines carrées complexes de
2i(1
a)2 ).
(2) On désigne par Z1 (resp. Z2 ) les points du plan complexe d’affixe z1 (resp. z2 )
et par M le milieu de [Z1 , Z2 ]. Tracer la courbe du plan complexe décrite par M
lorsque a varie dans R.