Liban 2016. Enseignement spécifique EXERCICE 5 (3 points) (commun à tous les candidats) On considère la suite (zn ) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par : ! z0 = 0 1 zn+1 = i × zn + 5 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn . On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA . 1) Soit (un ) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn − zA a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1 = 1 i × un . 2 b) Démontrer que, pour tout entier naturel n : un = " 1 i 2 #n (−4 − 2i). 2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. ⃝ Liban 2016. Enseignement spécifique EXERCICE 5 : corrigé 1) a) Soit n un entier naturel. ⎛ ⎞ 1 1 ⎜ −1 + 2i ⎟ 1 izn + 5 − 4 − 2i = izn − (−1 + 2i) = i ⎝zn − ⎠ 1 2 2 2 i 2 ' ( ' ( 2(−1 + 2i) 2(−1 + 2i)(−i) 1 1 1 = i zn − = i zn − = i (zn − 2(−1 + 2i)(−i)) 2 i 2 i(−i) 2 1 1 = i (zn − (2i + 4)) = iun . 2 2 un+1 = zn+1 − (4 + 2i) = b) Montrons par récurrence que pour tout tout entier naturel n, un = ' 1 i 2 (n (−4 − 2i). (0 1 i (−4 − 2i). L’égalité est donc vraie quand n = 0. 2 ' (n 1 • Soit n ! 0. Supposons que un = i (−4 − 2i). Alors 2 • u0 = z0 − (4 + 2i) = −4 − 2i = ' 1 iun (d’après la question a)) 2 ' (n 1 1 = i× i (−4 − 2i) (par hypothèse de récurrence) 2 2 ' (n+1 1 = i (−4 − 2i). 2 un+1 = On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un = ' 1 i 2 (n (−4 − 2i). −−−→ 2) Soit n un entier naturel. L’affixe du vecteur AMn est −−→ z− AMn = zn − zA = un = ' 1 i 2 (n (−4 − 2i). On en déduit que −−−−→ = z− AMn+4 ' 1 i 2 (n+4 (−4 − 2i) = ' 1 i 2 (4 × ' 1 i 2 (n (−4 − 2i) = 1 z−−−→ . 16 AMn −−−−−→ 1 −−−→ −−−→ −−−−−→ Par suite, AMn+4 = AMn . Ainsi, les vecteurs AMn et AMn+4 sont colinéaires ou encore 16 les points A, Mn et Mn+4 sont alignés. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. ⃝