France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique Polynésie 2010. Enseignement spécifique EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats) ! − → " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, → u,− v . Partie A - Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels. On note z, le nombre complexe défini par z = a − bi. Questions. 1) Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z ′ , z × z ′ = z × z ′ . n 2) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul et tout nombre complexe z, zn = (z) . Partie B On considère l’équation (E) : z4 = −4 où z est un nombre complexe. 1) Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et z sont aussi solutions de l’équation (E). 2) On considère le nombre complexe z0 = 1 + i. a) Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle. b) Vérifier que z0 est solution de l’équation (E). 3) Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E). Partie C Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives : zA = 1 + i, zB = −1 + i, zC = −1 − i et zD = 1 − i. Soient E et F les points d’affixes respectives : π π zE = zC + e−i 3 (zB − zC ) et zF = zC + e−i 3 (zD − zC ). √ 1) Démontrer que l’affixe du point E est égale à −1 + 3. 2) Déterminer l’affixe zF du point F. zA − zE 3) Démontrer que le quotient est un réel. zA − zF 4) Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique Polynésie 2010. Enseignement spécifique EXERCICE 1 Partie A - Restitution organisée de connaissances 1) Soient a, b, a ′ et b ′ quatre nombres réels puis z = a + ib et z ′ = a ′ + ib ′ . z × z ′ = (a − ib)(a ′ − ib ′ ) = (aa ′ − bb ′ ) − i(ab ′ + ba ′ ) = ((aa ′ − bb ′ ) + i(ab ′ + ba ′ )) = (a + ib)(a ′ + ib ′ ) = z × z ′ . Pour tous nombres complexes z et z ′ , z × z ′ = z × z ′ . n 2) Soit z un nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, zn = (z) . 1 • C’est vrai pour n = 1 car z1 = z = (z) . n • Soit n ! 1. Supposons que zn = (z) . Alors zn+1 = zn × z = zn × z (d’après 1)) n = (z) × z (par hypothèse de récurrence) n+1 = (z) . Le résultat est démontré par récurrence. Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = (z)n . Partie B 1) Soit z un nombre complexe. Puisque (−z)4 = z4 , z4 = −4 ⇒ (−z)4 = −4. D’autre part, puisque −4 est un nombre réel, 4 z4 = −4 ⇒ z4 = −4 ⇒ (z) = −4. On a montré que si z est solution de (E) alors −z et z sont solutions de (E). 2) a) |z0 | = √ √ 12 + 12 = 2 puis √ z0 = 2 ! 1 1 √ +√ i 2 2 " = # π $$ √ √ # #π$ 2 cos + i sin = 2eiπ/4 . 4 4 z0 = b) z40 = √ 2eiπ/4 . #√ $4 #√ $4 % &4 2eiπ/4 = 2 eiπ/4 = 4eiπ = 4(−1 + 0i) = −4. Donc z0 est solution de l’équation (E). 3) L’équation (E) admet z0 = 1 + i pour solution. mais alors, d’après la question 1, l’équation (E) admet aussi pour solution −z0 = −1 − i, z0 = 1 − i et donc aussi −z0 = −1 + i. Les quatre nombres 1 + i, 1 − i, −1 + i et −1 − i sont solutions de l’équation (E). http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ Partie C 1) π zE = zC + e−i 3 (zB − zC ) ' ' √ ( √ ( 1 1 3 3 ((−1 + i) − (−1 − i)) = −1 − i + 2i = −1 − i + −i −i 2 2 2 2 √ √ = −1 − i + i + 3 = −1 + 3. zE = −1 + √ 3. 2) π zF = zC + e−i 3 (zD − zC ) ' ' √ ( √ ( 3 3 1 1 ((1 − i) − (−1 − i)) = −1 − i + 2 = −1 − i + −i −i 2 2 2 2 # √ √ $ = −1 − i + 1 − i 3 = −i 1 + 3 . # √ $ zF = −i 1 + 3 . 3) # i √ $ √ # 1 + i − −1 + 3 √ $ 1 + 2 − √3 zA − zE 2− 3+i # # # = √ $ = √ $ = 2− 3 √ $ zA − zF 1+i+i 1+ 3 1+i 2+ 3 1+i 2+ 3 # √ $ # # √ $ √ $1+i 2+ 3 √ $# # $ 3 2 − 3 = 4 − 3 = 1) = 2− 3 (car 2 + √ 1+i 2+ 3 √ = 2 − 3. zA − zE est un nombre réel. zA − zF # √ $ −→ √ √ $ −→ # zA − zE 4) De l’égalité = 2 − 3, on déduit l’égalité zA − zE = 2 − 3 (zA − zF ) puis l’égalité EA = 2 − 3 FA. zA − zF −→ −→ En particulier, les vecteurs EA et FA sont colinéaires et on en déduit que En particulier, les points A, E et F sont alignés. http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ B A 1 E −1 C 1 −1 D −2 F −3 http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝