programmation lineaire par l`exemple resume table des

PROGRAMMATION LINEAIRE PAR
L’EXEMPLE
F.DROESBEKE
M.HALLIN
CL.LEFEVRE
RESUME
Les enseignante de Recherche Opérationnelle trouvent place
actuellement dans la formation de tous ceux que leur profession
destine à assumer des responsabilités de gestion et d’organisation:
i ngéni eurs , économistes, gestionnaires commerciaux, cades
d’entreprises, preneurs de décision au sens le plus large. A l’ère de
l’ordinateur- outil essentiel de la mise en œuvre des techniques de
recherche opérationnelle - Il est indispensable de prendre contact
avec les principales méthodes existantes en identifiant, en «mettant
en équation», en résolvant un certain nombre de problèmes de petite
dimension: on n’utilise bien que ce qu’on connaît bien.
Le but du présent ouvrage est de permettre un telle prise de contact.
Un brève présentation théorique des méthodes décrites est suivie de
la résolution détaillée de quelques problème types et d’un grand
nombre
d’exercice proposés. Le niveau mathématique requis ne dépasse pas celui des années terminales des lycées et collèges, et est
donc parfaitement accessible à un large éventail de lecteurs et d’étudiants.
Ce premier volume, consacré à la Programmation linéaire, accorde bien entendu une large palce à l’algorithme du simplexe et à
ses dérivés (notion de dualité, programmes paramétriques, algorithme dual-simplexe,…). Il couvre également quelques méthodes
moins classique, telles la méthode de Gomory pour la résolution des programmes en nombres entiers et les méthodes de
séparation pour les programmes en nombres entiers et les méthodes de séparation pour les programmes à variables binaires. Un
second volume, consacré aux applications de la théorie des graphes (algorithmes de plus court/plus long chemin, problèmes de
flot optimal, de transport, d’affectation, d’ordonnancement,…) paraîtra sous peu
TABLE DES MATIERES
Chapitre I
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
PROGRAMMATION LINEAIRE RESOLUTION ET PROBLEMES ANNEXES
LA PROGRAMMATION LINEAIRE
PRESENTATION THEORIQUE
RESOLUTION D'UN PROGRAMME LINEAIRE (PL)
1.3.1. Résolution graphique
1.3.2. Résolution par énumération des solutions de base
L'ALGORITHME DU SIMPLEXE
1.4.1. Principe de l'algorithme
1.4.2. Le tableau simplexe
1.4.3. Organigramme de l'algorithme du simplexe
1.4.4. Exemples résolus
7
7
9
11
12
15
18
18
18
21
23
30
1.4.5. Interprétation économique de
OBTENTION D'UNE BASE REALISABLE DE DEPART
1.5.1. Organigramme de la méthode M et de la méthode en deux phases
1.5.2. Exemples résolus
DEGENERESCENCE – CYCLAGE
32
32
34
40
1.6.1.
40
Solution de base dégénérée
1.6.2. Dégénérescence et cyclage
1.6.3. Méthode de perturbation
1.6.4. Organigramme de la méthode de perturbation
1.6.5. Exemples résolus
VARIABLES SANS RESTRICTION DE SIGNE
1.7.1. Première méthode
41
42
44
45
50
50
1.8.
1.9.
1.10.
1.7.1. Première méthode
1.7.2. Seconde méthode
1.7.3. Exemples résolus
PROGRAMMES LINEAIRES A VARIABLES BORNEES
1.8.1.
1.8.2. Exemples résolus
EXERCICES PROPOSES
SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES
Chapitre Il
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
PROGRAMMES PRIMAL ET DUAL
THEOREMES ET PROPRIETES FONDAMENTALES
2.2.1. Théorèmes
2.2.2. Dualité et théorie de Lagrange
RESOLUTION DU DUAL
PASSAGE DU DERNIER TABLEAU SIMPLEXE DU PRIMAL AU DERNIERT
ABLEAU SIMPLEXE DU DUAL
2.4.1.
2.4.2. Exemples résolus
INTERPRETATION ECONOMIQUE DU DUAL
2.5.1. Analyse aux dimensions des problèmes primai et dual
2.5.2. Le programme dual vu comme le problème d'une entreprise concurrente
2.5.3. Interprétation économique des Y I à l'optimum
EXERCICES PROPOSES
SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES
Chapitre III
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
70
70
80
80
80
83
86
86
87
88
88
90
90
93
94
100
100
100
101
102
104
104
105
105
106
107
113
114
115
117
121
126
PROGRAMMES LINEAIRES PARAMETRIQUES
130
PARAMETRISATION DE LA FONCTION ECONOMIQUE
PARAMETRISATION DU SECOND MEMBRE DES CONTRAINTES
REMARQUES
EXEMPLES RESOLUS
EXERCICES PROPOSES
SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES
130
132
132
133
142
144
Chapitre V
5.1.
5.2.
L'ALGORITHME DUAL – SIMPLEXE
INTRODUCTION
3.1.1. Exemple R.3.1
3.1.2. Exemple R.3.2.
3.1.3. Présentation intuitive de l'algorithme dual – simplexe
L'ALGORITHME DUAL – SIMPLEXE
3.2.1. Conditions d'application
3.2.2. Règles de changement de base
3.2.3. Evolution et règles d'arrêt
3.2.4. Organigramme de l'algorithme dual – simplexe
EXEMPLES RESOLUS
METHODE DE LA CONTRAINTE ARTIFICIELLE
3.4.1. Principe de la méthode
3.4.2. Organigramme de la méthode de la contrainte artificielle
3.4.3. Exemples résolus
EXERCICES PROPOSES
SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES
Chapitre IV
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
DUALITE EN PROGRAMMATION LINEAIRE
50
51
51
55
55
56
62
68
PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES PROCEDURES D'OPTIMISATION
PAR COUPE
154
INTRODUCTION
PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES
5.2.1. Définition d'un programme linéaire en variables entières (PLE)
154
156
156
5.2.2. Méthodes de résolution d'un programme linéaire en variable entières
METHODE DE COUPE DE GOMORY POUR LES PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES
5.3.1. Principe des méthodes de coupe
5.3.2. Théorème de base de l'algorithme de Gomory
5.3.3. Principe de l'algorithme de Gomory
5.3.4. Organigramme de la méthode de Gomory
EXEMPLES RESOLUS
EXERCICES PROPOSES
SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES
157
158
158
159
161
164
165
173
175
Chapitre VI
PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES 0-1 PROCEDURES D'OPTIMISATION
PAR SEPARATION
176
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
INTRODUCTION
PROCEDURES D'OPTIMISATION PAR SEPARATION (PS)
6.2.1. Principe fondamental des PS - Ensemble sondable de solutions
6.2.2. Etapes d'une PS. Représentation sous forme de graphe
PSES POUR LES PL EN VARIABLES 0-1
6.3.1. Allure de l'arborescence
6.3.2. Hypothèses et notations
6.3.3. Organigramme de la PSES
6.3.4. Commentaire de l'organigramme
EXEMPLE RESOLU
EXERCICES PROPOSES
SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES
BIBLIOGRAPHIE
176
177
177
178
180
180
181
183
184
185
188
191
192
LISTE DES ORGANIGRAMMES
ALGORIHME DU SIMPLEXE
21
METHODE M ET METHODE EN DEUX PHASES
33
METHODE DE PERTURBATION
44
ALGORITHME DUAl-SIMPLEXE
106
METHODE DE LA CONTRAINTE ARTIFICIELLE
115
METHODE DE GOMORY
164
ALGORITHME D'UNE PROCEDURE D'OPTIMISATION PAR SEPARATION
177
PROCEDURE D'OPTIMISATION PAR SEPARATION ET EVALUATION SEQUENTIELLE
183
LISTE DES PRINCIPALES
ABREVIATIONS UTILISEES
Pl :
PlE :
PLM :
SBR :
PS :
SEP :
SES :
s. r. s.:
TOP
programme linéaire
programme linéaire en variables entières
programme linéaire mixte
solution de base réalisable
procédure d’optimisation par séparation
séparation et évaluation progressiVe
séparation et évaluation séquentielle
sans restriction de sigle