algèbre – analyse – géométrie - probabilités - statistiques

CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT
DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE
CAPESA
SESSION 2009
Concours :
Section :
INTERNE
Mathématiques
COMPOSITION POUVANT PORTER SUR :
algèbre – analyse – géométrie - probabilités - statistiques
----------------------------(Coefficient 2 : - Durée : 5 heures)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront
pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu’elles soient à
fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante.
Le sujet comporte cinq pages.
L’épreuve est constituée de deux exercices indépendants l’un de l’autre.
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MATH-Interne_Sujet_2009
Exercice 1
1- Préliminaire
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f
une fonction numérique continue sur
l’intervalle [ a , b ] .
a.
Rappeler les conditions pour que la fonction f soit une densité de probabilité sur [ a , b ] .
Dans la suite de l’exercice,
f désigne une fonction continue, densité de probabilité sur
l’intervalle [ a , b ] .
b.
Démontrer que : a <
On prolonge
∫
b
t f (t )dt < b .
a
f à l’ensemble des nombre réels par f (x ) = 0 pour tout nombre réel x n'appartenant pas à
l’intervalle [ a , b ] .
X désigne une variable aléatoire réelle de densité f .
La fonction de répartition de X notée F est définie sur IR par F ( x ) = P ( X ≤ x) =
∫
x
−∞
f (t ) dt .
Si P ( X ≤ 0) = 0 , on dit que X est positive.
Si l’intégrale
∫
+∞
−∞
t f (t ) dt est convergente, cette intégrale notée E ( X ) , est appelée espérance
mathématique de la variable aléatoire X .
(
Si X admet une espérance mathématique et si E ( X − E ( X ))
2
) existe, ce nombre réel est appelé
variance de la variable aléatoire X .
2- Exemple de loi à densité
⎤ π π⎡
.
;
⎦ 2 2 ⎢⎣
Soit Θ , variable aléatoire réelle de loi uniforme sur l’intervalle ⎥ −
Soit T la variable aléatoire réelle définie par T = tan Θ .
a.
Déterminer la densité, puis la fonction de répartition de la variable aléatoire Θ .
b.
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire T .
c.
En déduire que la fonction f définie sur IR par f ( x) =
1
π 1+ x2
(
)
probabilité de la variable aléatoire T .
d.
Vérifier que la variable aléatoire T n'admet pas d'espérance mathématique.
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est la densité de
3- Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire réelle de densité de probabilité f .
On suppose que X est positive et admet une espérance mathématique.
Soit a un nombre réel strictement positif et b tel que b = a E ( X ) .
a.
Démontrer que E ( X ) ≥
∫
+∞
xf ( x)dx puis que E ( X ) ≥ b P( X > b) .
b
b.
En déduire que P[ X > aE ( X )] ≤
c.
On suppose que la fonction de répartition de X est strictement croissante sur IR .
1
.
a
Démontrer qu’il existe un nombre réel unique q3 tel que P ( X ≤ q3 ) =
3
.
4
q3 est appelé le troisième quartile de la variable aléatoire X . Démontrer que q3 ≤ 4 E ( X ) .
d.
Exemple
Soit la variable aléatoire U de loi normale centrée réduite et X = U 2 .
Déterminer E ( X ) et une valeur approchée du troisième quartile de X .
On rappelle que P (U ≤ 1,15) ≈ 0,875 .
4- Inégalité de Tchebychev
Soit Y une variable aléatoire réelle à densité admettant une espérance mathématique, notée μ , et une
variance, notée σ 2 .
Déduire de la question 3 en prenant X = (Y − μ ) que pour tout nombre réel k strictement positif :
2
P( Y − μ > kσ ) ≤
1
.
k2
5- Loi faible des grands nombres
Soit X une variable aléatoire réelle à densité admettant une espérance mathématique, notée μ , et une
variance, notée σ 2 .
n étant un entier naturel non nul, soient X 1 , X 2 ,..., X n , n variables aléatoires mutuellement
indépendantes, de même loi que X .
Soit X n , la variable aléatoire définie par X n =
1 n
∑ Xi .
n i =1
a.
Démontrer que X n admet pour espérance mathématique μ et pour variance
b.
Soit ε un nombre réel strictement positif.
Soit ( p n )n≥1 la suite définie par p n = P( X n − μ > ε ) .
Démontrer que lim p n = 0 .
n → +∞
c.
Donner un exemple en statistique inductive illustrant cette propriété.
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σ2
n
.
Exercice 2
On se place dans le plan affine euclidien. Soit ABC un triangle non isocèle.
On pose BC = a , CA = b , AB = c .
Le problème sera illustré par une figure que l’on complétera au fil de l’exercice, en prenant comme unité
le centimètre comme unité, avec a = 6 , b = 3 , c = 8 .
1- Soit I , le barycentre du système de points
a.
G
Soit i =
{(B, b ) ; (C , c )}.
G 1 →
1 →
AB et j = AC .
c
b
Démontrer qu’un point M appartient à la bissectrice intérieure de l’angle BAˆ C si et
→
K
→
G
seulement si : AM . i = AM . j .
b.
En déduire que la droite ( AI ) est la bissectrice intérieure de l’angle BAˆ C .
c.
Quel point remarquable du triangle ABC est le barycentre de
2- Soit J , le barycentre du système de points
{( A, a ) ; (B, b ) ; (C , c )} ?
{(B, b ) ; (C ,−c )} .
Démontrer que les droites ( AI ) et ( AJ ) sont orthogonales. Que peut-on en déduire pour
( AJ ) ?
3a.
Montrer que l’ensemble des points M du plan tels que
MB c
= est le cercle de diamètre
MC b
[I J ] noté C1 .
b.
Soit Ω1 , le milieu du segment [I J ] .
→
→
→
Exprimer le vecteur A Ω1 en fonction des nombres réels b et c et des vecteurs AB et AC .
c.
Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
→
→
Etablir les égalités : AO . AB =
d.
→
→
c2
b2
et AO . AC =
.
2
2
Démontrer que la droite (OA) est tangente en A au cercle C1 .
4- Soit C 2 , le cercle ensemble des points M du plan tels que
MC a
= et Ω 2 son centre.
MA c
On admet que les cercles C1 et C 2 sont sécants en deux points P et Q.
a.
Démontrer que OΩ12 = OA2 + AΩ12 et OΩ 22 = OB 2 + BΩ 22 .
b.
En déduire que OΩ12 − OΩ 22 = PΩ12 − PΩ 22 .
c.
Si ω désigne le milieu du segment [Ω1 Ω 2 ] , en déduire que Oω . Ω1Ω 2 = Pω . Ω1Ω 2 .
→
4/5
→
→
→
d.
Démontrer que les points O, P, Q sont alignés.
5- Soit C 3 , le cercle ensemble des points M du plan tels que
MA b
= .
MB a
a.
Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle C 3 . Construire le cercle C 3 .
b.
En déduire que les centres des trois cercles précédents sont alignés.
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