Fonctions Usuelles - e

Fonctions Usuelles
Cours de 1ère année CPI
Fonctions Usuelles
Mai 2013 (version du 26/05/2013)
Sommaire
1
Plan général de l'étude d'une fonction ................................................................. 4
2
Les fonctions puissances ..................................................................................... 6
3
4
5
2.1
Introduction et propriétés ............................................................................... 6
2.2
Etude et graphe ............................................................................................. 7
Fonctions Logarithmes ....................................................................................... 13
3.1
Définition ..................................................................................................... 13
3.2
Etude de la fonction Ln ................................................................................ 13
3.3
Théorèmes et Propriétés ............................................................................. 15
3.4
Limites et Croissances comparées .............................................................. 16
3.5
Application aux fonctions
3.6
Logarithmes de base a ................................................................................ 17
............................................................. 16
Fonctions Exponentielles ................................................................................... 18
4.1
Définition ..................................................................................................... 18
4.2
Etude de la fonction ..................................................................................... 19
4.3
Propriétés .................................................................................................... 20
4.4
Limites et croissance comparée .................................................................. 21
4.5
Exponentielles de base a ............................................................................ 21
Fonctions Usuelles ............................................................................................. 22
5.1
Cercle Trigonométrique ............................................................................... 22
5.1.1
Introduction ........................................................................................... 22
5.1.2
Fonctions cosinus et sinus .................................................................... 23
5.2
Liens entre le cercle et les fonctions sinus et cosinus ................................. 23
5.3
Etude de la fonction cosinus ........................................................................ 24
5.4
Etude de la fonction sinus ........................................................................... 26
5.5
Propriété des fonctions sinus et cosinus ..................................................... 27
5.5.1
Valeurs remarquables ........................................................................... 27
5.5.2
Relations d'identité trigonométrique ...................................................... 28
5.6
Introduction de la fonction tangente............................................................. 31
5.6.1
Généralités............................................................................................ 31
5.6.2
Etude de la fonction .............................................................................. 31
5.6.3
Propriétés.............................................................................................. 33
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6
7
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La fonction valeur absolue ................................................................................. 36
6.1
Définition ..................................................................................................... 36
6.2
Propriétés .................................................................................................... 36
6.3
Etude de la fonction ..................................................................................... 37
La fonction partie entière .................................................................................... 39
7.1
Définition ..................................................................................................... 39
7.2
Propriétés .................................................................................................... 39
7.3
Etude de la fonction ..................................................................................... 40
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1 Plan général de l'étude d'une fonction
1-Domaine de définition
On commence par déterminer le domaine de définition
de
2-Restriction de l'intervalle

est périodique de période a si et seulement si
On étudie alors la fonction sur un intervalle de longueur a.

est paire si et seulement si le domaine de définition D est symétrique par
rapport à 0 et si
F est impaire si et seulement si le domaine de définition D est symétrique par
rapport à 0 et si
On étudie alors la fonction pour

(ou
.
est symétrique par rapport à la droite d’équation
si
Pour tout
tel que
et
.
On étudie alors la fonction f pour x>a (ou x<a)

Le point de coordonnées
représentative de si :
est centre de symétrie pour la courbe
Pour tout
tel que
et
.
On étudie alors la fonction f pour x>a (ou x<a)
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3- Limites aux bornes
On étudie les limites éventuelles aux bornes du domaine de définition et on essaie
d’obtenir des prolongements par continuité de f aux points extrémités du domaine de
définition (si les prolongements existent).
4- Variations de
On calcule de la dérivée et on étudie son signe. On en déduit les variations de f sur
l’intervalle d’étude.
5- Tableau de variation
On regroupe les résultats sur le signe de la dérivée, les variations de f et les limites
dans un tableau de variation.
6- Points particuliers
On peut également faire l’étude locale aux points particuliers :



Points où la fonction a été prolongée par continuité
Points où la dérivée s’annule
Extremums
7-Branches infinies et asymptotes


Si
, on dit que la droite d'équation
verticale à la courbe.
Si
, on dit que la droite d'équation
horizontale à la courbe.
est une asymptote
est une asymptote
8-Représentation de la fonction
On trace la fonction sur l’intervalle d’étude en commençant par les points particuliers.
On prolonge éventuellement le graphe.
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2 Les fonctions puissances
2.1 Introduction et propriétés

définition :
Df
x
R
xn
On se limitera aux cas ou la puissance n Є Z et au cas ou la puissance vaut 1/n avec
n Є N.
On peut classer ces fonctions selon la valeur et la parité de la puissance.
On distingue trois cas :
-Le cas ou n>1
-Le cas ou n<0
-Le cas ou n=1/p avec p Є N

propriétés
-Toutes les fonctions passent par le point de coordonnée (1 ; 1). En effet
1n=1
-Pour les puissances réels on utilise xa= exp(a ln x)
xq.x1 /p= xq/p
Df
Df

nЄR
x-n=
dérivée et primitive
f’(x)= n xn-1
pour n≠-1,
=
*xn+1 + cst pour n=-1
∫1/x dx = ln x + cst
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2.2 Etude et graphe

Si n>1 Df=R
Pour n pair la fonction est paire
x
0
+∞
+
f’(x)
+∞
f(x)
0
Par parité on obtient le comportement sur R et finalement le graphe suivant :
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Rq : La fonction est positive
La représentation graphique de la fonction est une courbe appelée parabole.
Pour n impaire la fonction est impaire
x
0
+∞
+
f’(x)
+∞
f(x)
0
Par imparité on obtient le comportement sur R et finalement le graphe suivant :
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Rq : Ce type de fonction illustre le fait que, même si la dérivé s’annule en un point (ici
0) la fonction peut être strictement croissante.

Si n<0 Df=R*
Pour n impaire la fonction est impaire
x
0
+∞
-
f’(x)
+∞
f(x)
0
Par imparités on obtient le comportement sur R* et finalement le graphe suivant :
Rq : On peut dire que la fonction est strictement décroissante sur ] -∞; 0 [ ou sur ] 0 ;
+∞ [ mais pas que la fonction est ( strictement) décroissante sur R*
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Pour n paire la fonction est paire
x
+∞
0
-
f’(x)
+∞
f(x)
0
Par parité on obtient le comportement sur R* et finalement le graphe suivant :
Rq : La fonction est positive

Si n=1/q avec q
N
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Pour q pair Df=R+
x
+∞
0
+
f’(x)
+∞
f(x)
0
On obtient le graphe suivant :
Rq : La fonction est positive
= |x| et non x
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Pour n impaire Df = R et la fonction est impaire
x
+∞
0
+
f’(x)
+∞
f(x)
0
Par imparités on obtient le comportement sur R et finalement le graphe suivant :
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3 Fonctions Logarithmes
3.1 Définition
La fonction
est continue sur
. Elle admet des primitives sur cet intervalle
(ceci sera prouvé dans le cours d'intégration). On appelle fonction logarithme
népérien, notée ln, l'unique primitive de
qui s'annule en 1.
Soit :
3.2 Etude de la fonction Ln

Domaine de définition
La fonction ln est définie sur

Limites aux bornes
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
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Variations de
est dérivable sur
tel que
et
est strictement
positive sur cet intervalle.
est strictement croissante sur
D'où

Tableau de variation
0
1
+
Signe de
Variation de
0
ln

Représentation graphique
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3.3 Théorèmes et Propriétés

Chaque nombre de ℝ admet un unique antécédent dans
On note e, nombre népérien, l'unique antécédent de 1

Logarithme d'un produit

Logarithme d'un quotient

Logarithme d'une puissance
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3.4 Limites et Croissances comparées

Limites importantes

Croissance comparée
Lemme : La représentation graphique de la fonction
première bissectrice (
)
est toujours située sous la
pour tout
3.5 Application aux fonctions
Si la fonction est dérivable et strictement positive sur alors est dérivable
sur et on appelle dérivée logarithmique de :
La primitive de
est
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3.6 Logarithmes de base a
Soit
et différent de 1. On pose
Les propriétés de la fonction logarithme de base
. On a notamment
et
se déduisent de celles de
Dérivée :
On en déduit que le sens de la variation de la fonction
:
- si
est strictement croissance sur
- si
, est strictement décroissante
dépend de la valeur de a
Quelques fonctions logarithmes utilisées :
- La fonction ln peut aussi s'écrire
: logarithme décimal (souvent noté juste
cinétique, pour les échelles logarithmiques…
-
), utilisé en physique,
: logarithme binaire, utilisé en informatique
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4 Fonctions Exponentielles
4.1 Définition
La fonction exponentielle est la réciproque du logarithme :
Cette fonction est aussi définie comme étant l’unique solution de cette équation :
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Premières Propriétés :



ℝ
est définie, continue et dérivable sur ℝ et
4.2 Etude de la fonction

Domaine de définition
La fonction est définie sur ℝ

Limites aux bornes

Variations de
est dérivable sur ℝ tel que
et
est strictement
positive sur cet intervalle.
D'où

est strictement croissante sur ℝ
Tableau de variation
0
+
Signe de
Variation de
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1
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
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Représentation graphique
4.3 Propriétés

Chaque nombre de

Exponentielle d'une somme
admet un unique antécédent dans
ℝ
ℝ

Exponentielle d’une soustraction
ℝ
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
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Puissance d’une exponentielle
ℝ
4.4 Limites et croissance comparée

Limites importantes

Croissance comparée
4.5 Exponentielles de base a
Soit
. La fonction exponentielle de base est la fonction réciproque de la
fonction logarithme de base , et est notée
, ou
On a:
Quelques propriétés:
 Les propriétés des exponentielles de base a d’une somme, d’une soustraction
et d’une puissance sont les mêmes que celles en base

 Si
est strictement croissante sur ℝ
Si
est strictement décroissante sur ℝ
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5 Fonctions Usuelles
5.1 Cercle Trigonométrique
5.1.1Introduction
Dans un repère orthonormé, on appelle Cercle trigonométrique le cercle de centre
(0,0) et de rayon 1 dont l'équation est :
x²+y²=1
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Remarque : Le sens arbitraire de parcours de ce cercle est le sens inverse des
aiguilles d'une montre aussi appelé sens trigonométrique.
5.1.2Fonctions cosinus et sinus
Les fonctions y=sin(x) et y=cos(x) aussi appelées fonctions trigonométriques ou
circulaires, sont des fonctions dont la variable est un angle (x= θ) et
permettent de modéliser de nombreux phénomènes
périodiques de par leurs propriétés. Si elles sont nommées ainsi c'est qu'il
est possible de les repérer sur le cercle trigonométrique.
5.2 Liens entre le cercle et les fonctions sinus et
cosinus
En notant θ, l'angle formé entre un rayon du cercle unité et
l'axe des abscisses, alors on obtient un triangle rectangle
formé par les points O, M et la projection de M, C .
La hauteur de ce triangle correspond au sinus
de l'angle θ (sin(θ)), la longueur de la base de ce
triangle est égale à cos(θ).
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La lecture du sinus et du cosinus de l'angle est donc immédiate respectivement sur
les axe Y et X par projection orthogonale du point M. On obtient la valeur du cosinus
en C et celle du sinus en S.
- Le point (1,0) correspond à θ =0
- Le point (0,1) correspond à θ = π /2
- Le point (-1,0) correspond à θ = π
- Le point (0,-1) correspond à θ = 3 π/2
Remarque importante : L'angle θ varie, de 0 à 2 π par représentation mais peut
prendre des valeurs plus grandes. Toutefois, une fois un tour complet réaliser, on
revient à la position initiale du point M. Tout angle peut donc être repéré par une
valeur θ' =2n π + θ .
Pour un angle θ' on a donc les même propriétés pour les fonctions circulaires que
pour un angle θ.
On a introduit la notion de périodicité pour les fonctions circulaires.
Fonction Périodique :
On dit qu'une fonction f est périodique de période T (ou T-périodique) si pour tout
réel x appartenant à l'ensemble de définition de f : f(T+x)=f(x)
Intérêt :
Si une fonction est T périodique, on peut restreindre son intervalle d'étude à un
intervalle de taille T car on peut obtenir le reste du graphique par simple translation
de vecteur T.
5.3 Etude de la fonction cosinus
-Ensemble de définition :
La fonction cosinus est définie sur R mais on peut restreindre son ensemble de
définition à un intervalle de 2 π car cos(θ+2 π)=cos(θ). En effet si on effectue une
rotation de 2 π autours du cercle, on revient à la position initiale du point M et la
valeur du cosinus reste inchangée.
La fonction cosinus est donc 2 π périodique
Comme toute fonction périodique on peut donc se restreindre à l'étude d'un intervalle
de taille 2 π, par exemple [-π, π]
De plus on remarque grâce au cercle trigonométrique que cos(-θ)=cos(θ). ( Si on
prend un point M' d'angle associé - θ, la valeur du cosinus est identique par
projection).
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La fonction cosinus est une fonction paire
Comme toute fonction paire, celle-ci est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées, on peut donc étudier la partie des x positifs et obtenir le reste du
graphique par symétrie.
On se restreint donc à l'intervalle d'étude [0; π]
-Dérivée :
La dérivée de la fonction cosinus est la fonction - sinus telle que :
cos'(θ) = - sin(θ)
De façon générale : cos'(ax+b)= -asin(ax+b)
Astuce : L'utilisation de la dérivée de sinus et cosinus intervient régulièrement dans
de nombreux calculs et présente un moins dans un cas mais pas dans l'autre ce qui
est source d'erreur. Pour l'éviter il existe un moyen mnémotechnique efficace :
- Si l'opération concerne un cosinus, on se place au point du cercle ou cos(θ)=1 (θ
=0).
Dans le cas d'un sinus on se place au point sin(θ)=1 (θ = π/2))
-Si l'opération est une dérivée, on tourne de θ =π/2 dans le sens horaire et on lis la
valeur de la fonction au point d'arrivée.
Si l'opération est une intégration, on tourne de θ = π/2 dans le sens trigonométrique
et on lis la valeur de la fonction au point d'arrivée.
-On multiplie ensuite cette valeur avec la fonction d'arrivée.
Exemple : Dérivons cos(θ ). On se place en θ = 0, on tourne dans le sens horaire
de θ = π/2 et on arrive à une valeur de sinus de -1. La dérivée de cos(θ ) est donc (1) x sin(θ ).
-Tableau de variation :
Sur [0 ;π/2[, f'(x) = -sin x < 0, donc la fonction sinus est strictement décroissante sur
[0 ; π/2[.
Sur ] π /2; π], f'(x) = -sin x < 0 donc la fonction sinus est strictement décroissante sur
] π /2; π].
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Pour obtenir le graphe sur ]- π ; 0], il suffit de faire le symétrique de la fonction par
rapport à l'axe des ordonnées car la fonction cosinus est paire. Par périodicité 2 π on
déduit le reste du graphe de la courbe.
-Courbe :
5.4 Etude de la fonction sinus
-Ensemble de définition :
La fonction sinus est définie sur R mais on peut restreindre son ensemble de
définition à un intervalle de 2 π tout comme cosinus car sin(θ+2 π)=sin(θ)
La fonction sinus est 2 π périodique
Comme toute fonction périodique on peut donc se restreindre à l'étude d'un intervalle
de taille 2 π, par exemple [-π, π]
De plus on remarque grâce au cercle trigonométrique que sin(-θ)=-sin(θ)
La fonction sinus est une fonction impaire
Comme toute fonction impaire, celle-ci est symétrique par rapport à l'origine, on peut
donc étudier la partie des x positifs et obtenir le reste du graphique par symétrie.
On se restreint donc à l'intervalle d'étude [0; π]
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-Dérivée :
La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus telle que :
sin'(θ) = cos(θ)
De façon générale : sin'(ax+b) = acos(ax+b)
-Tableau de variation :
Sur [0 ;π/2[, f'(x) = cos x > 0, donc la fonction sinus est strictement décroissante sur
[0 ; π/2[.
Sur ] π /2; π], f'(x) = cos x< 0 donc la fonction sinus est strictement décroissante sur ]
π /2; π].
-Courbe :
5.5 Propriété des fonctions sinus et cosinus
5.5.1Valeurs remarquables
θ
Deg
Cos(θ)
Sin(θ)
0
0
1
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
30
√3/2
1/2
45
√2/2
√2/2
60
1/2
√3/2
90
0
1
180
-1
0
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5.5.2Relations d'identité trigonométrique
-Relation fondamentale :
du cercle)
Cos²(x)+Sin²(x) =1
(Relation déduite de l'équation
-Passer de sin à cos : On remarque que les valeurs de cos et sin sont liées par
rotation de π/2.
Ces relations doivent être retrouvées rapidement grâce au
cercle.
-> Cos(θ +π/2)= -Sin(θ)
-> Sin(θ+ π/2)= Cos(θ)
(cf Videos pour de plus amples explications)
-Sommes et produits dans un cosinus ou un sinus:
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Remarque : Les relations 2 et 4 se déduisent de 1 et 3 par simple changement de
signe entre les deux termes.
-Produit de Cosinus et de Sinus :
En combinant les équations (1), (2), (3) et (4) on peut arriver à isoler chaque terme :
Démonstration : (Les démonstrations sont d'avantage détaillées dans les vidéos du
cours)
½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) + (cos a cos b – sin a sin
b) ]
½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ (2 cos a cos b)
½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = cos a cos b
(De même pour les autres produits)
-Duplication des angles :
En remplaçant b par a il vient :
Cos(2a) = Cos²(a) - Sin²(a) = 2Cos²(a) - 1
Sin (2a) = 2Sin(a)Cos(a)
Démonstration :
Cos(a + a) = cos a cos a - sin a sin a
Cos (2a) = cos² a – sin² a
or sin²(a)+cos²(a) = 1
Donc sin²(a) = 1-cos²(a)
D'où Cos(2a) = 2Cos²(a)-1
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-Somme de Cosinus et de Sinus :
Démonstration : (Cf exercice corrigé)
Remarque : En analyse mathématique, les fonctions circulaires peuvent aussi être
définies à partir de la somme de séries entières ou comme les solutions d'équations
différentielles ce qui permet de les généraliser à des nombres complexe. C'est
pourquoi certaines propriétés seront plutôt abordées dans la partie complexes
comme les calculs de puissance de cosinus ou de sinus.
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5.6 Introduction de la fonction tangente
5.6.1Généralités
La fonction tangente est une fonction circulaire, également repérable sur le cercle
trigonométrique. Tout comme sinus et cosinus, elle possède un certain nombre de
propriétés qui seront abordées dans cette partie.
La fonction tangente est définie pour tout réel θ tel que θ ≠ π/2 + k π ,ou k est un
entier relatif, par :
En π/2, ou 3 π/2, le cosinus s'annule, on ne peut pas diviser par 0 d'où la
restriction sur l'intervalle. On peut interpréter graphiquement cette
propriété. En effet la fonction tangente est repérée comme
indiqué sur le schéma. Il s'agit de la coordonnées du point I sur la
droite (IA) A étant le point de coordonnée 0 (I vaut environ 1 sur le
schéma). I est le point d'intersection entre les droite OM et la
tangente au cercle en A.
Si le point M est placé en π/2 on a pas d'intersection et le point I
n'existe pas, la tangente n'est alors pas définie.
5.6.2 Etude de la fonction
-Ensemble de définition :
La fonction tangente est définie sur R - { π /2 + k π } mais on peut restreindre son
ensemble de définition à un intervalle de taille π car tan(θ+ π)=tan(θ). En effet, si on
effectue un demi-tour sur le cercle, la droite OM' retrouve la même orientation que la
droite OM et donc on retrouve la même valeur de la tangente.
La fonction tangente est π périodique
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Comme toute fonction périodique on peut donc restreindre son intervalle à un
intervalle de taille π, privé de toute valeur à problèmes, par exemple ]-π/2, π/2[.
De plus on remarque grâce au cercle trigonométrique que tan(-θ)=-tan(θ) , ce qui se
vérifie par les propriétés de sinus et cosinus respectivement impaire et paire. (La
fonction sinus impose son caractère impaire à la fonction tangente)
La fonction tangente est une fonction impaire
Comme toute fonction impaire, celle-ci est symétrique par rapport à l'origine, on peut
donc étudier la partie des x positifs et obtenir le reste du graphique par symétrie.
On se restreint donc à l'intervalle d'étude [0; π/2[
-Dérivée :
La dérivée de la fonction tangente est :
tan'(θ) = 1/cos²(θ) = 1 + tan²( θ)
(cf vidéos
pour démonstration)
-Tableau de variation :
Sur [0 ;π/2[, f'(x) = 1/cos² x > 0, donc la fonction sinus est strictement décroissante
sur [0 ; π/2[
De plus en π/2, cosinus tend vers 0 donc la fonction tangente tend vers l'infini par
valeurs positives
Pour obtenir le graphe sur ]- π ; 0], il suffit de faire le symétrique de la fonction par
rapport à l'origine car la fonction tangente est impaire. Par périodicité 2 π on déduit le
reste du graphe de la courbe.
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-Courbe :
5.6.3Propriétés
-Géométrie :
Tout comme sinus et cosinus, la fonction tangente permet de lier la mesure d'un angle
dans un triangle rectangle avec ses côtés. Il vient avec la phrase mnémotechnique SOHCAH-TOA :
Tan(θ)=O/A
T : tangente
O : longueur côté opposé à l'angle
A : longueur côté adjacent à l'angle
H : longueur de l'hypoténuse
-Tangente d'une somme :
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Démonstration :
vidéos)
(Ces démonstrations sont plus clairement expliquées dans les
-tan (a-b) :
si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a – b ≠ π/2 + kπ
tan(a – b) =
–
–
–
A condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le
dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.
Après simplification on retrouve exactement la formule souhaitée.
-tan(a+b) : En remplaçant b par – b dans la formule tg(a – b)
-Duplication des angles :
tan(2a) =
Démonstration :
si 2a ≠ π/2 + kπ, a ≠ π/2 + kπ, c.-à-d. a ≠ π/4 + kπ/2
Si l’on pose a = b
tan( a + a) =
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= tan(2a)
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-Relation entre tangente, sinus et cosinus :
Soit en posant t = tan(a/2)
cos(a) =
sin(a) =
tan(a) =
Démonstration : Pour tangente cela découle directement de la duplication des
angles, pour les
autres Cf Vidéos.
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6 La fonction valeur absolue
En mathématiques, la valeur absolue d'un nombre réel est sa valeur numérique
sans tenir compte de son signe.
Il existe de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces plus
abstraits (nombre complexe, espace vectoriel, corps commutatif, Norme)
Nous nous intéresserons ici à l’étude de cette fonction et à ses propriétés.
6.1 Définition
On appelle valeur absolue de x le réel noté IxI et défini par : IxI = max(x,-x)
Autrement dit : IxI = x, si x ≥ 0
IxI = x, si x ≤ 0
6.2 Propriétés
Les principales propriétés de la fonction valeur absolue sont les suivantes :
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valable pour a dans R.
! : Une erreur de rigeur souvent commise est de dire que
Si est seulement si a est un réel positif ou nul.
Inégalité triangulaire:
est donc majoré par
et minoré par
6.3 Etude de la fonction

Ensemble de définition :
La valeur de tout nombre réel étant défini, la fonction valeur absolue est défini sur R
par f(x)= IxI.
f(x)≥0 sur R et : si x ≤ 0, f(x) = -x
si x ≥ 0, f(x) = x

Dérivées :
La dérivée d’une fonction de type f(x)=ax est égale à f’(x) =a
Donc sur : ] -∞ ; 0] f(x)= -x => f’(x) = -1 et la fonction est décroissante.
[0 ; +∞ [ f(x) = x => f’(x) = 1 et la fonction est croissante.
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La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0. En effet la si on regarde la limite
de la dérivée f’(x) quand x tend vers 0+ et 0- on constate qu’elles sont différentes :
A gauche de 0 f’(x) vaut -1
A droite de 0 f’(x) vaut +1

Limites aux bornes :
La fonction valeur absolue est définie sur R, ses limites sont donc :

On a donc le tableau de variation suivant :
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
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Tracé de la fonction :
7 La fonction partie entière
7.1 Définition
Pout tout nombre réel x, la partie entière noté E(x) est le plus grand entier relatif
inférieur ou égale à x.
On peut en fait dire que pour tout x dans R, il existe un unique entier n dans Z tel
que :
n ≤ x < n+1, n est la partie entière notée E(x).
7.2 Propriétés
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7.3 Etude de la fonction
La fonction partie entière est croissante et définie sur R par f(x) = E(x).
Elle est constante sur tout intervalle [ n ; n+1[, avec n appartenant à Z. Elle est
continue en tout point d’abscisse non entière et discontinue
aux points d’abscisses entières car les limites de la
fonction E(x) à ses bornes sont les suivantes :
La fonction étant constante sur [ n ; n+1[, sa dérivé est nulle sur cet intervalle.
La croissance de cette fonction peut se démontrer facilement :
Prenons deux réel x et y avec x ≤ y ; Donc E(x)≤x et E(x)≤y.
E(x) appartient à l’ensemble Z et E(y) le plus grand entier inférieur ou égale à y. On
en conclut que E(x) ≤ E(y) et que la fonction est bien croissante.
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Représentation graphique de f(x) = E(x) :
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