Feuille de TD - Mathématiques

Mathématiques BCPST1
Lycée Roland Garros 2015-2016
πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ
Feuille de TD no 22. Couples de variables aléatoires
πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ
Exercice 1
Urne et dé
Une urne contient deux boules noires et deux boules rouges.
• On lance un dé équilibré à 4 faces et on note X le score obtenu.
• On prélève ensuite X boules dans l'urne et on note Y le nombre de boules
rouges obtenues.
1.
2.
3.
4.
Déterminer la loi conjointe de X et Y .
Déterminer la loi de Y .
Déterminer la loi de X sachant que Y = 2.
Que vaut l'espérance de X sachant que Y = 2 ?
Exercice 2
Lancer de 2 dés
On lance deux fois un dé à n faces. On note X le score obtenu au premier lancer et Y le plus grand des deux scores.
1.
2.
3.
Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ).
Déterminer les lois marginales de X et Y .
Déterminer la loi conditionnelle de X sachant que Y = 5.
Exercice 3
Covariance nulle
;
indépendance.
Soit X une v.a. de loi uniforme sur [[−1, 1]] et la variable Y dénie par
(
0,
Y =
1,
si X 6= 0,
si X = 0.
. Que vaut X(Ω) ? Que vaut P(X = x) pour x ∈ X(Ω) ? Que vaut E(X) ?
Écrire Y comme une indicatrice, donner sa loi et son espérance.
Déterminer la loi de la variable XY puis son espérance.
Vérier que Cov(X, Y ) = 0
Montrer que X et Y ne sont pas indépendantes.
1. Cours
2.
3.
4.
5.
Exercice 4
Variables de Bernoulli non corrélées.
Montrer que pour des variables X et Y de Bernoulli, on a l'équivalence :
Cov(X, Y ) = 0 ⇔ X et Y indépendantes
1
Exercice 5
Loi conjointe abstraite
Soit n ∈ N. Pour (i, j) ∈ [[1, n]]2 tels que i ≤ j , on pose pi,j =
est une constante).
λi
(où λ ∈ R
j
Pour quelle valeur de la constante λ, la famille de coecients (pi,j ) dénit-elle la
loi conjointe d'un couple de variables aléatoires (X, Y ) ?
1.
Dans la suite on suppose que
λ
prend cette valeur.
Déterminer la seconde loi marginale du couple.
Soit j ∈ [[1, n]]. Donner la loi conditionnelle de X sachant {Y = j}.
X et Y sont-elles indépendantes ?
4. Calculer l'espérance de X . On ne cherchera pas à mettre le résultat
dénominateur.
2.
3.
Exercice 6
Arrêts d'un ascenseur
au même
On considère un immeuble de p étages. n personnes montent dans l'ascenseur au
rez-de-chaussée. Chaque personne descend à un étage au hasard, indépendamment
des autres. On note X le nombre d'arrêts de l'ascenseur. On dénit :
• Xi = 1 si l'ascenseur s'arrête à l'étage i et 0 sinon.
• Yi,j = 1 si la personne j descend à l'étage i et 0 sinon.
1.
2.
3.
4.
Déterminer la loi de chacune des variables Yi,j puis celle de chacune des Xi .
Exprimer X en fonction des Xi . Est-il vrai que X suit une loi binomiale ?
Calculer E(X).
Déterminer lim E(X). Ce résultat était-il prévisible ?
p→∞
Exercice 7
Marche aléatoire
On dispose de 6 boules, trois blanches initialement dans une urne U1 et trois noires
initialement dans une urne U2 . On appelle échange le fait de tirer au hasard une
boule dans chacune des deux urnes et de les échanger.
On note Xn le nombre de boules noires dans l'urne U1 après n échanges. On note

A = (P(Xn+1 = i − 1|Xn = j − 1))i,j∈[[1,4]]
P(Xn
P(Xn
et Un = 
P(Xn
P(Xn
Déterminer les coecients de A.
Montrer que Un+1 = AUn pour tout n ∈ N
3. En déduire une expression de Un en fonction de A, n et U0 .
4. Soient L = 0 1 2 3 et J = 1 1 1 1 .
(a) Trouver deux réels α et β tels que LA = αL + βJ .
(b) En déduire une expression de E(Xn+1 ) en fonction de E(Xn ).
1.
2.
2

= 0)
= 1)

= 2)
= 3)
(c) Déterminer E(Xn ) en fonction de n. Calculer lim E(Xn ) et interpréter.
n→∞
Exercice 8
Somme de deux variables uniformes
Soient X et Y deux variables indépendantes de loi uniforme sur [[0, n]].
1.
2.
3.
Déterminer la loi de X + Y puis la représenter par un diagramme en bâtons.
Calculer E(X + Y ).
Soit r ∈ [[0, n]] xé. Calculer la loi de X sachant que X + Y = r.
Exercice 9
Somme de deux variables binomiales
Soient X1 et X2 deux variables indépendantes de lois respectives B(n1 , p) et B(n2 , p).
1.
2.
Rappeler pourquoi X1 + X2 suit la loi B(n1 + n2 , p).
Soit a ∈ [[0, n1 + n2 ]]. Calculer la loi de X1 sachant que X1 + X2 = a
Exercice 10
Deux lancers de pièce successifs
On lance n fois une pièce équilibrée et on note X le nombre de piles obtenus. On
lance alors X fois une pièce de monnaie sortant pile avec probabilité p et on note Y
le nombre de piles obtenus avec cette seconde pièce.
Quelle est la loi de Y ?
Exercice 11
Choix biaisé d'un nombre entier
.
On choisit au hasard (uniformément) un nombre X entre 1 et N , puis (encore uniformément) un nombre Y entre 1 et X . On souhaite savoir ce que vaut Y en moyenne.
1.
2.
3.
4.
Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ).
En déduire la loi de Y (laisser le résultat sous forme de somme)
Calculer E(Y ). Donner un équivalent de E(Y ) quand N → ∞.
Exprimer P(X = Y ) avec une somme. Conjecturer un équivalent quand N → ∞.
Exercice 12
Une loi conjointe avec un paramètre
Soit p ∈ R. On considère X et Y deux variables de Bernoulli dont la loi conjointe
est donnée par le tableau suivant :
X\Y
0
1
1.
2.
3.
0
1
2/3 − p
p
−1/6 + p
1/2 − p
Quelles sont les valeurs possibles pour p ?
Déterminer les lois marginales du couple.
Pour quelle(s) valeur(s) de p les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
3
Exercice 13
Variance et covariance
n personnes se répartissent au hasard et indépendamment dans 3 hôtels H1 , H2
et H3 . Soit Xi le nombre de personnes ayant choisi l'hôtel Hi .
1.
2.
3.
Préciser la loi de Xi pour i = 1, 2, 3. Déterminer Var(Xi ).
Préciser la loi de X1 + X2 . Déterminer Var(X1 + X2 ).
Calculer la covariance de X1 et X2 . Commenter le signe du résultat obtenu.
Exercice 14
Deux lanceurs de pièce
Deux joueurs lancent chacun n fois une pièce. Soit pn la probabilité qu'ils obtiennent
le même nombre de FACE.
1.
Montrer que
pn =
2.
2n
n
4n
En admettant la
formule de Stirling
:
n n
√
2πn
,
n→∞
e
n! ∼
donner un équivalent ainsi que la limite de pn quand n → ∞. Interpréter la limite.
Exercice 15
Principe des grandes déviations.
Soit p ∈]1/2, 1[ xé et q = 1 − p. On considère une variable aléatoire Xn de loi
B(n, p). On pose aussi Yn = 2Xn − n.
Le but de l'exercice est de montrer que P(Xn ≤ n/2) est très petite quand n est
grand.
1.
Etablir que pour tout n ∈ N,
E(e−tYn ) = (pe−t + qet )n
2.
Montrer, en utilisant l'inégalité de Markov, que
∀t ≥ 0, P(Xn ≤ n/2) ≤ (pe−t + qet )n .
Etudier les variations de la fonction φ : t 7→ (pe−t + qet ) et en déduire l'existence
d'un réel α ∈]0, 1[ (à préciser) tel que :
3.
∀n ∈ N,
P(Xn ≤ n/2) ≤ αn .
4
Exercices à chercher tout seul
Exercice 16
Soient U et V deux v.a.r. indépendantes de même loi dénie par
P(U = −1) = 1/3, P(U = 1) = 2/3.
On dénit X = U et Y = signe(U ) × V .
Quelle est la loi conjointe du couple (X, Y ) ? X et Y sont-elles indépendantes ?
2
2
2. X et Y
sont-elles indépendantes ?
1.
5