N1- -Nombres entiers (2)- -Multiplication - Division - LOZANO

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-N1-Nombres entiers (2)-Multiplication - Division-DuréesDernière
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jour le 20
20 mars 2015
Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique − http://lozano.maths.free.fr
Sommaire
1.0.1
1.0.2
1.0.3
1.0.4
1.0.5
1.0.6
Le point sur le programme . . .
Multiplication . . . . . . . . . . .
Ordre de grandeur d’un résultat
Division Euclidienne . . . . . . .
Premières équations . . . . . . .
Durées . . . . . . . . . . . . . . .
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1
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2
2
4
4
6
7
1.0.1
Le point sur le programme
Connaissances
Capacités
Commentaires
2.2 Opérations
Addition,
soustraction,multiplication
et
division.
Connaı̂tre les tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.
Multiplier ou diviser un nombre par 10,
100, 1000.
*Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ;
0,001.
Multiples et diviseurs.
Connaı̂tre et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10.
Connaı̂tre et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9.
Sens des opérations
Choisir les opérations qui conviennent au
traitement de la situation étudiée.
Pour les problèmes à étapes, la solution peut
être donnée à l’aide d’une suite de calculs, *ou
à l’aide de calculs avec parenthèses.
Techniques
de calcul.
Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou
instrumenté.
La capacité à calculer mentalement est une
priorité et fait l’objet d’activités régulières.
La maı̂trise des différents moyens de calcul
doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant
le calcul posé, les nombres doivent rester de
taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée.
élémentaires
Connaı̂tre la signification du vocabulaire
associé : somme, différence, produit, terme,
facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
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La maı̂trise des tables est consolidée par une
pratique régulière du calcul mental sur des
entiers et des décimaux simples. La division
décimale est limitée à la division d’un décimal
par un entier. En calcul posé, le dividende
comporte au maximum deux chiffres après la
virgule.
Ordre de grandeur.
1.0.2
Établir un ordre de grandeur d’une somme,
*d’une différence, d’un produit.
La notion de multiple, introduite à l’école
primaire, est rappelée sur des exemples
numériques, en même temps qu’est introduite
celle de diviseur. Les différentes significations
de ce dernier terme doivent être explicitées.
L’objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou
anticiper un résultat.
Multiplication
Vocabulaire
Définition 1 :
Un PRODUIT c’est le résultat d’une multiplication.
Les FACTEURS d’un produit, sont les nombres qui permettent de calculer ce
produit.
52 × 179 = 9 308
52
179
468
364
52
FACTEURS
×
PRODUIT
9308
Exemple :
352 × 12 × 2 est le produit des trois facteurs : 352; 12 et 2.
l × 37 est le produit du facteur inconnu l et de 37.
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2
Calcul posé
Rappels
Pour calculer plus rapidement 155 + 155 + 155 + 155 + 155 + 155 + 155, c’est à dire la somme
de 7 termes tous égaux à 155, on peut effectuer la multiplication 155 × 7
Application 1 : Pose et effectue le produit de 155 et de 7.
155
×
7
1085
donc 155 × 7 = 1085
Exemple : Pose et effectue la multiplication : 1 458 × 74.
145
7
583
10206
10789
×
8
4
2
·
2
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Application 2 : Pose et effectue la multiplication : 89 × 545.
×5
4
35
445
485
8
4
4
6
·
0
9
5
5
·
·
5
Commutativité de la multiplication
Propriété 1 : (admise)
Si on change la place des facteurs dans une suite de multiplications
alors cela ne change pas leur produit
Exemple :
2 × 7 × 5 × 7 = 490
7 × 7 × 2 × 5 = 490 aussi !
Intérêt : calculs astucieux
1/ Calcule astucieusement 25 × 15 × 4.
2/ Calcule astucieusement 13 × 125 × 2 × 8.
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3
1.0.3
Ordre de grandeur d’un résultat
Définition 2 : Un ORDRE DE GRANDEUR d’un nombre est un autre nombre proche
du premier mais qui permet d’effectuer les opérations plus simplement.
Exemple : Un ordre de grandeur de 872 peut être :
870 à la dizaine près.
900 à la centaine près.
Propriété 2 : (Méthode admise)
Avant d’effectuer un calcul ( mental, posé, ou à la machine ), il faut toujours connaı̂tre
un ORDRE DE GRANDEUR du résultat à obtenir en utilisant des ordres de grandeur
des nombres constituant le calcul.
Exemples :
Je dois calculer 2731 + 6207
∗ 2731 est ”de l’ordre de” 3000
∗ 6207 est ”de l’ordre de” 6000
∗ Donc le résultat de 2731 + 6207 est ”de l’ordre de” 3000 + 6000 c’est à dire 9000.
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∗ En effet, 2731 + 6207
machine
=
8938, qui est bien ”de l’ordre de” nos prévisions.
127 × 85 est à calculer
∗ 127 est ”de l’ordre de” 125
∗ 85 est ”de l’ordre de” 80
∗ donc le résultat de 127 × 85 est ”de l’ordre de” 125 × 80 c’est à dire 10000.
∗ En effet,
12
× 8
63
1016
1079
7
5
5
·
5
qui est bien ”de l’ordre” prévu.
1.0.4
Division Euclidienne
Vocabulaire
Définition 3 :
Un QUOTIENT c’est le résultat d’une division.
Un DIVISEUR c’est un nombre par lequel on divise.
Un DIVIDENDE c’est un nombre que l’on divise.
Un RESTE c’est ce qu’il reste après partage !
Une DIVISION EUCLIDIENNE c’est une division où le quotient, le diviseur, le
dividende et le reste sont des nombres entiers.
Exemples :
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4
84
−6
24
−2 4
3
28
0
84
−6
24
−2 4
DIVISEUR
DIVIDENDE
QUOTIENT
RESTE
3
28
0
Chaque personne aura 28 € et il ne reste rien .
DIVISEUR
DIVIDENDE
QUOTIENT
RESTE
Chaque personne reçoit 28 € et il reste 1 €.
Propriété 3 : (admise)
dans une division euclidienne, on multiplie le quotient par le diviseur
Si
et qu’on ajoute le reste
alors on retrouve le dividende
Exemples :
28 × 3 + 0 = 84
28 !30 × 3 + 1 = 85
Application 1 : Pose et effectue la division de 42
332 par 7.
Application 2 :Pose et effectue 52659 ÷ 13.
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Calcul posé
42332
−4 2
03
− 0
33
−2 8
52
−4 9
3
52659
−5 2
06
− 0
65
−6 5
09
− 0
9
7
6047
Critères de divisibilité
Définition 4 : On considère deux nombres entiers a et b, b ne valant pas zéro
On dit que :
b est un DIVISEUR de a.
ou que a est DIVISIBLE par b.
ou encore que a est un MULTIPLE de b.
lorsque le reste de la division euclidienne de a par b vaut 0.
Exemples :
84 3
−6
28
24
−2 4
0
3 est un DIVISEUR de 84.
84 est un MULTIPLE de 3.
84 est DIVISIBLE par 3.
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5
13
4050
.
27
−2 4
3
4 n’est pas un DIVISEUR de 27.
27 n’est pas un MULTIPLE de 4.
27 n’est pas DIVISIBLE par 4.
4
6
Propriété 4 : (admise)
Les nombres entiers DIVISIBLES PAR 2 sont les nombres qui se terminent par
0 ;2 ;4 ;6 ;8.
Les nombres entiers DIVISIBLES PAR 5 sont ceux qui se terminent par 0 ;5.
Les nombres entiers DIVISIBLES PAR 4 sont ceux dont les deux derniers chiffres
sont divisibles par 4.
Les nombres entiers DIVISIBLES PAR 9 sont ceux dont la somme des chiffres
est divisible par 9.
Les nombres entiers DIVISIBLES PAR 3 sont ceux dont la somme des chiffres
est divisible par 3.
Exemples : Utilise ces critères sur 10 974.
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1.0.5
Premières équations
Problème : ”Un(e) élève de la classe” pense à un nombre entier à deux chiffre et le multiplie par 11.
Il(elle) trouve 132. A quel nombre ”cet(te) élève” a-t-il(elle) pensé ?
Plusieurs pistes :
Traiter ce problème par le théâtre des équations.
Faire un schéma avec des longueurs.
132
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
?
?
?
?
?
?
?
?
b
b
b
A10 A11 A12
?
?
Pour
trouver
ce
nombre il faut effectuer 132 ÷ 11.
?
Propriété 5 : (admise)
Si on veut déterminer un facteur inconnu dans un produit
alors il faut effectuer une division
Remarque : En mathématique pour désigner les nombres inconnus on utilise des lettres.
Application 3 : Un champ rectangulaire a une aire de 132m2 . Sachant que sa longueur mesure 12 m
quelle est sa largeur ?
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6
1.0.6
Durées
Conversions
Définition 5 : L’unité du système international des mesures pour le temps et les durées
est la seconde dont le symbole est ”s”
ATTENTION
Le système de mesure de temps que nous utilisons pour les heures, minutes et secondes n’est
pas un système décimal ! C’est à dire qu’1 dizaine ne vaut pas 10 unités !
C’est un système à base 60, on dit système sexagésimal ! C’est à dire qu’1 dizaine vaut 60
untiés !
C’est un vestige babylonien !
1 heure vaut 60 minutes et non pas 10 !
1 minute vaut 60 secondes et non pas 10 !
Propriété 6 : (Méthode admise)
Pour convertir les minutes en secondes, on multiplie par 60.
Pour convertir les heures en minutes, on multiplie par 60.
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Pour convertir les heuresen secondes, on multiplie par 3 600 = 60 × 60.
Pour convertir les secondes en minutes et secondes, on effectue une division
euclidienne par 60.
Pour convertir les minutes en heures et minutes, on effectue une division euclidienne par 60.
Exemples :
5h = 5 × 60 min = 300 min
5h37min = 300min + 37min = 337 min
2h = 2 × 3 600s = 7 200s
47min = 47 × 60s = 2 820s
2h47min53s = 7 200s + 2 820s + 53s = 10 073s
41 000 s = 11 h 23 min 20 s
En effet, 41 000 = 683 × 60 + 20 et 683 = 11 × 60 + 23
Addition et soustraction
ATTENTION
Les heures, les minutes et les secondes s’additionnent ou se soustraient séparément.
Les retenues sont à considérer en base 60 !
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