Programme de colle de la semaine n˚4

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Programme de colle de la semaine n˚4
Questions de cours
Question n˚ 1
Définition de eiθ , où θ ∈ R ; relation fonctionnelle
pour les nombres eiθ , où θ ∈ R (énoncé, admise) ;
formule d’addition pour cosinus et sinus (énoncé et
preuve à partir du résultat précédent) ; transformation
d’un produit en somme de cosinus et sinus (énoncé
et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction
f : R → R ; x 7→ sin(5x) sin(4x).
Question n˚ 2
Paramétrisation de U à l’aide de cosinus et sinus
(énoncé) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ ,
où θ ∈ R (énoncé, résultat admis) ; angle moitié i.e.
factorisation de 1 + eit et de 1 − eit , où t ∈ R (heuristique géométrique pour le premier nombre, énoncé et
preuve) ; résolution de l’équation |1 + z| = 1, d’inconnue z ∈ U.
Question n˚ 3
Définition de la factorielle d’un entier naturel,
définition des coefficients binomiaux, relation de
symétrie et relation de Pascal pour les coefficients
binomiaux (énoncé et preuve), formule du binôme de
Newton (énoncé), calcul d’une primitive de la fonction
f : R → R ; x 7→ sin5 (x).
Question n˚ 4
Formule de Moivre (énoncé et preuve par récurrence) ;
n
X
valeur de
q k , où (n, q) ∈ N × C (énoncé et preuve) ;
k=0
calcul de
n
X
sin(kt), où (n, t) ∈ N × R.
k=0
Question n˚ 5
Définition d’une forme exponentielle d’un nombre complexe non nul, définition d’un argument d’un nombre
complexe non nul, cas d’égalité de deux formes trigonométriques (énoncé et preuve), propriétés des argu √ 144
3−i
.
ments (énoncé et preuve), calcul de i−1
Chap. 1 − Nombres complexes et
trigonométrie
• Revêtement du cercle unité par la droite réelle,
définition du cosinus et du sinus d’un nombre
réel.
• Relation de Pythagore.
• Définition des fonctions cosinus et sinus et propriétés d’icelles (parité et périodicité).
• Effets de quelques transformations affines sur cosinus et sinus (e.g. x 7→ π2 − x).
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus).
• Définition de l’ensemble U des nombres complexes de module 1.
• Propriétés algébriques des nombres complexes de
module 1.
• Paramétrisation de U à l’aide de cosinus et sinus.
• Définition des nombres eiθ , avec θ ∈ R.
• Cas d’égalité de deux nombres de la forme eiθ
(θ ∈ R).
• Propriétés élémentaires des nombres eiθ (θ ∈ R).
• Équation fonctionnelle vérifiée par les nombres
eiθ (θ ∈ R).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition pour cosinus et sinus, formules de duplication pour cosinus et sinus.
• Transformation d’un produit en somme pour cosinus et sinus.
• Angle moitié : pour tout t ∈ R, on a 1 + eit =
t
t
2 cos( 2t )ei 2 et 1 − eit = −2i sin( 2t )ei 2 .
• Transformation d’une somme en produit de cosinus et sinus.
• Définition de la fonction tangente, plusieurs
écritures du domaine de définition de la fonction
tangente.
• Valeurs remarquables de la fonction tangente.
• La fonction tangente est impaire et π-périodique.
• Formule d’addition pour tangente.
• Définition de la factorielle d’un entier naturel,
relation de récurrence pour les factorielles.
• Définition des coefficients binomiaux (à l’aide
des factorielles), propriétés des coefficients binomiaux (e.g. relation de symétrie et relation de
Pascal).
• Triangle de Pascal.
• Formule du binôme de Newton.
• Exemples de linéarisations de polynômes en
cos(θ), sin(θ), où θ ∈ R.
• Formule de Moivre.
n
X
• Valeur de
q k , où (n, q) ∈ N × C.
k=0
• Exemples de calculs de sommes trigonométriques.
• Définition d’une forme exponentielle d’un
nombre complexe non nul.
• Une méthode pour rechercher une forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.
• Définition d’un argument d’un nombre complexe
non nul, défaut d’unicité d’un argument d’un
nombre complexe non nul.
• Définition du symbole arg(z), où z ∈ C∗ .
• Utilisation du symbole arg(z) (z ∈ C∗ ) et relation de congruence modulo 2π sur R.
• Cas d’égalité de deux formes trigonométriques.
• Propriétés des arguments.