Trigonométrie - seine-et

Trigonométrie
Webmestre@Seine-et-maths
2016-2017
1
Cosinus, sinus et tangente
Définition 1.1 ♥ Dans un triangle rectangle,
*le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l’hypoténuse ;
*le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle
par la longueur de l’hypoténuse ;
*la tangente d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
[Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA, ou encore CAHSOHTOA...]
Le cosinus, le sinus et la tangente d’angles aigus sont des outils qui permettent de calculer des mesures d’angles et des longueurs de segments.
Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en A :
÷ = AB ;
*Cos ABC
BC
÷ = AC ;
*Sin ABC
BC
AC
÷
*Tan ABC = AB
.
Propriété 1.1 Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et
1.
1
3 VALEURS USUELLES
Preuve : d’une part, le cosinus et le sinus sont positifs car quotients de deux nombres
positifs (deux longueurs) ;
d’autre part, l’hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. Or le quotient
d’un nombre positif par un nombre plus grand que lui est toujours plus petit que 1 ;
finalement, le cosinus et le sinus sont bien tous deux compris entre 0 et 1.
2
Propriétés
Propriété 2.1 Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus
de l’autre.
Propriété 2.2 Quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a :
;
*tanx = sinx
cosx
2
*(sinx) + (cosx)2 = 1.
Preuve : DM.
3
Valeurs usuelles
Les cosinus, sinus et tangente de certains angles sont fréquemment utiles, c’est pourquoi
il faut les connaı̂tre. Les voici :
◦
30
√
Cosinus
Sinus
Tangente
3
2
1
√2
3
3
c
SeineEtMaths
◦
45
√
2
√2
2
2
1
60◦
1
√2
3
√2
3
2
2016-2017