Programme de colle de la semaine n˚3

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Programme de colle de la semaine n˚3
Questions de cours
Question n˚ 1
Pour tout z ∈ C, Re(z) ≤ |z| (preuve) ; pour tout
z ∈ C, |1 + z| ≤ 1 + |z| (preuve) ; inégalités triangulaires (énoncé) ; cas d’égalité dans l’inégalité ≪ de
droite ≫ (énoncé). Si M est un point du plan situé sur
le cercle de centre Ω(3 − 4i) et de rayon 1, montrer que
OM ≤ 6.
Question n˚ 2
Présentation du revêtement ρ du cercle unité par la
droite réelle ; définition de cos(x) et sin(x) pour x ∈ R ;
expression de cos( π2 − x) et sin( π2 − x) en fonction
de cos(x) et sin(x) pour x ∈ R, valeurs de cos( π3 ) et
sin( π3 ) (énoncé et preuve), cas d’égalité de deux cosinus
(énoncé et explication graphique) ; résoudre l’équation
cos(2x) = −
1
2
d’inconnue x ∈ ] − π, π].
Question n˚ 3
Définition de eiθ , où θ ∈ R ; relation fonctionnelle pour
les nombres eiθ , où θ ∈ R (énoncé, admise) ; formule
d’addition pour cosinus et sinus (énoncé et preuve à
partir du résultat précédent) ; transformation d’un produit en somme de cosinus et sinus (énoncé et preuve) ;
calcul d’une primitive de la fonction
f : R → R ; x 7→ sin(5x) sin(4x).
Question n˚ 4
Paramétrisation de U à l’aide de cosinus et sinus
(énoncé) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ ,
où θ ∈ R (énoncé, admise) ; angle moitié i.e. factorisation de 1 + eit et de 1 − eit , où t ∈ R (heuristique géométrique pour le premier nombre, énoncé et
preuve) ; résolution de l’équation
|1 + z| = 1
d’inconnue z ∈ U.
Chap. 1 − Nombres complexes et
trigonométrie
• Définition de la conjugaison complexe et interprétation géométrique.
• Retrouver la partie réelle (resp. imaginaire) à
partir du conjugué.
• Caractérisation des réels via la conjugaison complexe.
• Caractérisation des imaginaires purs via la conjugaison complexe.
• Affixe d’un vecteur, d’un bipoint, vecteur ayant
pour affixe un nombre complexe donné.
• Définition du module d’un nombre complexe et
interprétation géométrique.
• Équation complexe d’un cercle.
• Équation complexe d’un disque (fermé).
• Pour tout z ∈ C, |z|2 = z z.
• Propriétés algébriques du module.
• Inégalité triangulaire et cas d’égalité.
• Propriété de séparation du module.
• Définition du cercle unité, définition du nombre
π.
• Revêtement du cercle unité par la droite réelle,
définition du cosinus et du sinus d’un nombre
réel.
• Relation de Pythagore.
• Définition des fonctions cosinus et sinus et propriétés d’icelles (parité et périodicité).
• Effets de quelques transformations affines sur cosinus et sinus (e.g. x 7→ π2 − x).
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus).
• Exemples de résolutions d’équations et
d’inéquations trigonométriques.
• Définition de l’ensemble U des nombres complexes de module 1.
• Propriétés algébriques des nombres complexes de
module 1.
• Paramétrisation de U à l’aide de cosinus et sinus.
• Définition des nombres eiθ , avec θ ∈ R.
• Cas d’égalité de deux nombres de la forme eiθ
(θ ∈ R).
• Propriétés élémentaires des nombres eiθ (θ ∈ R).
• Équation fonctionnelle vérifiée par les nombres
eiθ (θ ∈ R).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition pour cosinus et sinus.
• Formules de duplication pour cosinus et sinus.
• Transformation d’un produit en somme pour cosinus et sinus.
• Angle moitié : pour tout t ∈ R, on a 1 + eit =
t
t
2 cos( 2t )ei 2 et 1 − eit = −2i sin( 2t )ei 2 .
• Transformation d’une somme en produit de cosinus et sinus.
• Définition de la fonction tangente.
• Plusieurs écritures du domaine de définition de
la fonction tangente.
• Valeurs remarquables de la fonction tangente.
• La fonction tangente est impaire et π-périodique.
• Formule d’addition pour tangente.