Exercice 1 1. Pour quelles valeurs de x les expressions suivantes

Exercice 1
1. Pour quelles valeurs de x les expressions suivantes ont-elles un sens ?
(a) ln(x − 1) + ln(x + 1)
(Rappel : ln ∆ existe ⇔ ∆ > 0)
Pour que l’expression proposée soit définie, il faut et il suffit que les
deux conditions suivantes soient réalisées :
x+1>0
x−1>0
Ce qui équivaut à x > 1 et x > −1 donc x > 1
ln(x − 1) + ln(x + 1) est définie sur ]1; +∞[.
1−x
(b) ln
x+2
Selon le même principe que précédemment, il faut et il suffit que
1−x
soit strictement positive.
x+2
x
Signe de 1 − x
Signe de x + 2
1−x
Signe de
x+2
−∞
−2
+
-
0
+
+
-
k
+
1
0
0
+∞
+
-
En conclusion, l’expression existe si, et seulement si, x ∈] − 2; 1[.
2. Ecrire plus simplement les nombres suivants :
(a) eln 2 + ln e3 = 2 + 3 = 5
(b) e2+ln 8 = e2 × eln 8 = 8e2
2
(c) e− ln 3 + e 3
(Attention ici : on connait la formule eln a = a, mais il n’y a pas de
formule concernant e− ln a )
(Il n’y a aucune formule non plus concernant ea + eb )
2
1 2
2
1
e− ln 3 + e 3 = eln 3 + = + = 1
3
3 3
Exercice 2
Résoudre : (Attention : dans toutes les équations et inéquations comportant des
ln, il faut veiller à ce que les solutions potentielles soient dans le domaine de
validité de l’équation.)
1
G.Gremillot
• ln 2x = ln(x2 − 1)
En raison de la stricte croissance de la fonction ln :
ln 2x = ln(x2 − 1) ⇔ 2x = x2 − 1 ⇔ x2 − 2x − 1 = 0
∆ = 8 donne
√ les solutions potentielles
√:
√
√
2− 8
2+ 8
x1 =
= 1 − 2 et x2 =
= 1 + 2.
2
2
x1 est à rejeter car elle est négative et donc ln 2x1 n’existe pas.
x2 convient, vu que 2x2 > 0 et x22 − 1 > 0.
√
L’équation possède une seule solution qui est 1 + 2.
• ln 2x ≥ ln(x2 − 1)
Il faut 2x > 0 et x2 − 1 > 0, soit x > 0 et (x ∈] − ∞; −1[ ou x ∈]1; +∞[),
ce qui se résume à x ∈]1; +∞[ qui est donc le domaine de validité de
l’inéquation.
Pour tout x situé dans la domaine de validité de cette inéquation, et en
raison de la croissance de la fonction ln, on a :
√
√
ln 2x ≥ ln(x2 − 1) ⇔ 2x ≥ x2 − 1 ⇔ x2 − 2x − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [1 − 2; 1 + 2]
√
√
On doit "cumuler" les deux conditions x ∈]1; +∞[ et x ∈ [1 − 2; 1 + 2].
√
Ainsi les solutions de l’inéquation sont les réels de ]1, 1 + 2].
• e2x+5 = 5
(Ici, il n’y a aucun problème de validité puisque l’exponentielle est définie
sur R)
ln 5 − 5
e2x+5 = 5 ⇔ ln(e2x+5 ) = ln 5 ⇔ 2x + 5 = ln 5 ⇔ x =
2
Exercice 3
f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x2 − 8x + 8 + 6 ln x
Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.
Df =]0; +∞[ puisque f contient un ln x.
lim+ f (x) = −∞ car lim+ ln x = −∞.
x→0
x→0
8
8
+ ) + 6 ln x = +∞ car lim ln x = +∞
x→+∞
x x2
f est dérivable sur son domaine de définition et :
2
lim f (x) = lim x (1 −
x→+∞
x→+∞
f 0 (x) = 2x − 8 +
6
2x2 − 8x + 6
2(x2 − 4x + 3)
=
=
x
x
x
Les racines du trinôme x2 − 4x + 3 sont x1 = 1 et x2 = 3 et ce trinôme est
positif à l’extérieur des racines, négatif sinon :
2
G.Gremillot
x
f 0 (x)
0
1
0
1
+
f (x)
:
−∞
3
0
+
6 ln 3 − 6
:
-
+∞
+∞
XXX
XX
z
Exercice 4
f est la fonction définie sur I =]0; +∞[ par :
f (x) = x + 1 −
ln x
x
1. Pourquoi la droite d d’équation y = x + 1 est-elle asymptote à la courbe
C représentative de f ?
ln x
On sait que lim
= 0 (Résultat du cours), alors :
x→+∞ x
lim [f (x) − (x + 1)] = lim −
x→+∞
x→+∞
3
ln x
=0
x
G.Gremillot
ce qui implique que la droite d d’équation y = x + 1 est-elle asymptote à
la courbe C quand x → +∞.
2. Etudier les positions relatives de C et d.
ln x
f (x) − (x + 1) = −
. x étant positif (d’après le domaine de définition
x
de f ), cette expression est du signe de − ln x, soit donc :
– positive si x ∈]0; 1] auquel cas C est au-dessus de d.
– négative si x ≥ 1 auquel cas C est au dessous de d.
4
G.Gremillot