Exercice 1 Partie A : quelques rappels d`arithmétique Soit a un

Exercice 1
Partie A : quelques rappels d’arithmétique
Soit a un nombre entier et b un nombre entier non nul.
On dit que b est un diviseur de a, ou que a est divisible par b, lorsque le quotient de a
par b est lui aussi un nombre entier.
Par exemple, 2 est un diviseur de 10, car 10 ÷ 2 = 5 ; en revanche, 4 n’est pas un diviseur de
10, car 10 ÷ 4 = 2,5, et 2,5 n’est pas un nombre entier.
1/ a) Donner la liste des diviseurs positifs du nombre 14.
b) Quel est le nombre de diviseurs positifs de 14 ?
2/ Mêmes questions pour le nombre 60.
3/ On a compté les diviseurs positifs de chacun des nombres entiers de l’intervalle [ 1 ; 100 ].
Le tableau ci-dessous donne le résultat de ce travail statistique.
Nombre de diviseurs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Effectif
1 25 4 32 2 16 1 10 2 2
0
5
a) Le tableau indique par exemple qu’il n’y a qu’un seul nombre entier qui possède exactement 1 diviseur. Quel est ce nombre ?
b) Le tableau indique aussi qu’il y a 25 nombre entiers (entre 1 et 100) qui possèdent
exactement 2 diviseurs. Trouver tous ces nombres.
c) (Facultatif ) Le tableau indique qu’il y a un seul nombre qui possède 7 diviseurs. Quel
est ce nombre ?
Partie B : étude d’un problème
Soit (un ) la suite définie par un = n2 − n + 11.
1/ Calculer les 10 premiers termes de la suite (un ).
Quel est le nombre de diviseurs de chacun de ces termes ?
2/ Vrai ou Faux ? Justifier les réponses.
a) Pour tout n ∈ N, n2 − n + 11 possède exactement deux diviseurs.
b) Pour tout n ∈ N, n2 − n + 11 est un nombre impair.
Exercice 2
Une proposition est une affirmation qui a une valeur de vérité : vrai, ou faux.
Une proposition est soit vraie, soit fausse : il n’y a pas d’autre possibilité.
Indiquer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.
Proposition
Valeur de vérité
54 est un nombre entier pair.
L’aire d’un rectangle est toujours égale au produit de sa longueur
par sa largeur.
13 est divisible par 2.
2+2=4
8 > 20
La longueur d’un cercle est toujours égale à π multiplié par le
diamètre de ce cercle.
π est un nombre décimal.
40 = 5 × 8
Tout nombre entier dont le chiffre des unités est 3, 6 ou 9 est
divisible par 3.
√
2 est un nombre rationnel.
Exercice 3
Expliquer pourquoi chacune des phrases suivantes n’est pas une proposition.
1/ Calculer 3 × (5 + 2).
2/ π est-il un nombre décimal ?
3/ Soit M le milieu du segment [AB].
4/ x + 3 = 5.
Exercice 4
Énoncer de différentes façons la négation de chacune des propositions suivantes.
1/ 12 est un nombre entier naturel.
2/ La capitale de la France est Paris.
3/ Tous les élèves du lycée Pothier aiment les mathématiques.
√
4/ 2 est un nombre rationnel.
5/ Il n’est pas vrai que 3 × 6 = 18.
6/ 8 > 20.
7/ Les poules ont des dents.
8/ L’aire d’un rectangle est toujours égale au produit de sa longueur par sa largeur.
Exercice 5
1/ a) Énoncer la proposition p suivante en faisant une phrase, sans utiliser de symboles mathématiques :
∀x ∈ R, x2 > 0
b) La proposition p est-elle vraie ou fausse ?
2/ Énoncer la négation de p :
a) en faisant une phrase ;
b) en utilisant uniquement des symboles mathématiques.
Exercice 6
Soit p la proposition : « tous les corbeaux sont noirs ».
1/ Formuler la proposition p à l’aide d’un quantificateur.
2/ Énoncer la négation de p en utilisant un quantificateur.
Exercice 7
1/ Résoudre l’équation 21x2 − 25x − 4 = 0.
2/ Écrire symboliquement chacune des propositions suivantes, puis donner sa valeur de vérité.
a) Proposition p : il existe au moins un nombre réel x tel que 21x2 − 25x − 4 = 0.
b) Proposition q : il existe au moins un nombre rationnel x tel que 21x2 − 25x − 4 = 0.
c) Proposition r : il existe au moins un nombre décimal x tel que 21x2 − 25x − 4 = 0.
d) Proposition s : il existe au moins un nombre entier x tel que 21x2 − 25x − 4 = 0.
3/ Écrire la négation de chacune des propositions p, q, r et s, puis donner sa valeur de vérité.
Exercice 8
On considère les affirmations p(n) et q(n) ci-dessous :
p(n) : « n est divisible par 2 »
q(n) : « n est divisible par 4 »
1/ Pourquoi les affirmations p(n) et q(n) ne sont-elles pas des propositions ?
2/ Énoncer la proposition « ∀n ∈ N, p(n) ⇒ q(n) » en faisant une phrase.
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ?
Justifier la réponse.
3/ Énoncer la proposition réciproque « ∀n ∈ N, q(n) ⇒ p(n) » en faisant une phrase.
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ?
Justifier la réponse.
Exercice 9
Soit P un plan de l’espace.
Soit p la proposition conditionnelle : pour tous points A, B et M du plan P, si M est le
milieu du segment [AB], alors AM = MB.
Soit q la proposition réciproque de p.
1/ Énoncer la proposition q.
2/ Donner la valeur de vérité de chacune des propositions p et q.
3/ Compléter l’énoncé du théorème suivant.
Théorème : pour tous points A, B et M du plan P, AM = MB si, et seulement si, . . .
Exercice 10
Dans cet exercice, on considère la suite (un ) définie pour tout nombre entier n tel que n > 1
par :
1
u1 =
1×2
1
1
u2 =
+
1×2 2×3
1
1
1
u3 =
+
+
1×2 2×3 3×4
et ainsi de suite. . .
1/ Écrire de même u6 et u7 (sans les calculer).
2/ Soit n ∈ N∗ . Écrire un sous la forme d’une somme, en utilisant des points de suspension
entre les premiers et les derniers termes de la somme.
3/ Écrire un à l’aide du signe Σ (recopier et compléter) :
un =
n
X
...
j=1
4/ A l’aide de la calculatrice, calculer les six premiers termes de la suite (un ).
On écrira chaque terme sous la forme d’une fraction irréductible.
5/ Quel résultat général peut-on conjecturer ?
Écrire ce résultat à l’aide d’un quantificateur.
6/ a) En utilisant le résultat obtenu pour u6 , calculer à la main u7 .
b) Calculer de même u8 .
c) A ce stade de l’exercice, peut-on affirmer que la propriété générale conjecturée question
5/ est fausse ? Et peut-on affirmer qu’elle est vraie ?
7/ Soit maintenant k un nombre entier naturel quelconque, supérieur ou égal à 1.
k
.
On suppose que, pour cet entier k, on a obtenu uk =
k+1
Calculer alors uk+1 ; exprimer le résultat en fonction de k, sous la forme d’une fraction.
8/ En appliquant le résultat de la question précédente avec un entier k bien choisi, trouver la
valeur de u9 .
9/ Trouver de même u10 .
10/ Peut-on en déduire rapidement la valeur de u11 ? Pourquoi ?
11/ Quelle est la valeur de u15 ? de u100 ?
12/ Peut-on obtenir ainsi la valeur de n’importe quel terme de la suite (un ) ?
Finalement, le résultat conjecturé question 5/ est-il vrai ou faux ?
13/ Écrire à l’aide d’un quantificateur le résultat démontré question 7/ :
a) en faisant une phrase ;
b) en utilisant uniquement des symboles mathématiques.