probabilités conditionnelles

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CHAPITRE
1
PROBABILITÉS
CONDITIONNELLES
I)
Notions d’évènements et de probabilités (rappels )
1- Définitions
Définition
L’expérience aléatoire considérée dans cette partie est le lancé d’un dé équilibré.
- Une issue est un résultat possible de l’expérience aléatoire :
Exemple : Obtenir 5 est une issue
- L’univers Ω est constitué de toutes les issues possibles :
Exemple :
Dans notre cas on a : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Un évènement est une partie de l’univers
Exemple :
Obtenir un nombre impair est un évènement formé par : {1; 3; 5}
- La Probabilité d’une issue est un nombre réel de l’intervalle [0; 1] associé à l’issue
Exemple
On a une chance sur six d’obtenir le nombre 5 lors de lancé d’un dé équilibré.
La probabilité d’obtenir 5 est
1
6
2- Probabilité d’un évènement
Propriété
- La probabilité d’un évènement est la somme de toutes les probabilités associées aux issues qui le
réalisent.
Exemple :
Soit l’évènement A « Obtenir un nombre impair».
Cet évènement est constitué des issues : {1; 3; 5} .
La probabilité de l’évènement A est :
3
1
1 1 1
P (A) = + + = =
6 6 6
6
2
- On parle d’ équiprobabilité lorsque toutes les isuues de Ω ont la même probabilité
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3- Opérations sur les évènements
Définition
- l’évènement contraire d’un évènement A est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas
A . on le note A
Exemple :
l’évènement contraire de A« obtenir un nombre impair » est l’évènement A « Ne pas
obtenir un nombre impair » . Il est constitué des issues : {2; 4; 6}
- l’intersection des évènements A et B notée A
T
B est l’évènement formé des issues qui réalisent
à la fois A et B
Exemple
l’évènement qui réalise à la fois C : « un nombre impair » et D : « plus grand que 4 » est : C
- l’union des évènements A et B notée A
S
T
D=5
B est l’évènement formé des issues qui réalisent A ou
B
Exemple
l’évènement qui réalise E : « un nombre impair » ou F : « un nombre pair » est : E
S
F =
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
4- Quelques formules à retenir
Définition
- P (Ω) = 1 et P (φ) = 0
- Dans une situation d’équiprobabilité, pour tout évènement A on a :
P (A) =
nombre d0 issues de A
nombre total d0 issues Ω
- P A = 1 − P (A)
- P (A
II)
T
B) = P (A) + P (B) − P (A
T
B)
Probabilité conditionnelle
1- Exemple d’introduction
Exemple
Dans un lycée à bobigny, une étude sur 200 élèves, montre que 120 possèdent un smartphone et 24
ont un ordinateur et 10 ont un ordinateur et un smartphone.
Soit S l’évènement “ La personne possède un smartphone “
et O l’évènement “ La personne possède un
ordinateur “
T
T
p(S O)
- Calculer p(S), p(O), p(S O),
p(S)
- Parmi les personnes possédant un smartphone, quelle est probabilité qu’elles possèdent un ordinateur ?
T
Comparer ce dernier résultat à
p(S O)
p(S)
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2- Définition d’une probabilité conditionnelle
Définition
On considère deux évènements A et B tel que P(A) 6= 0
La probabilité conditionnelle de B sachant A c’est à direTla probabilité de B sachant que A
P(A B)
est réalisé est le nombre noté PA (B) défini par : PA (B) =
P(A)
Exemple
C et D désignent deux évènements de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire tels que :
P (A) = 0, 75 , P (B) = 0, 45 , P (A
T
B) = 0, 3
Calculer PA (B) et PB (A)
2- Propriétés
Propriété
Soit A et B deux évènements tels que P (A) 6= 0 On a :
- 0 ≤ PA (B) ≤ 1
- PA (B) + PA (B) = 1
Dans une situation d’équiprobabilité on a :
T
nombre d0 élements de B A
PA (B) =
nombre d0 élements deA
T
- P (A B) = P (A) × PA (B) avec P (A) 6= 0
- P (A
T
B) = P (B) × PB (A) avec P (B) 6= 0 .
3- Utilisation d’un arbre pondéré
Définition
On peut construire un arbre pour obtenir le résultat de la prbobabilité de l’évènement A
T
B en
utilisant la formule :
P(A
T
B) = P(A) × PA (B)
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
Exemple
Donner la signification des valeurs 0,8 ; 0,7 ; 0,5 , Compléter cet arbre puis trouver la probabilité
de A
T
B
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3- Formule des probabilités totales
Définition
Soit A et B deux évènements tel que P (A) 6= 0 on a :
T
P(B)= P(A B) + P (A
T
B)
Si A1 , A2 , A3 réalisent une partition de ω alors :
P(B) = P(A1
T
B) + P (A2
T
Exemple
Exercice page 157 bordas 2013
B) + P (A3
T
B) = P (A1 ) × PA1 (B) + P (A2 ) × PA2 (B) + P (A3 )